Accord pythagoricien

L'intervalle de quinte pure correspond en acoustique musicale à un rapport de fréquences de 3/2. Ainsi, si on part de la note ayant pour fréquence 200 Hz, l'intervalle de quinte pure est obtenu en partageant la corde aux 2/3, donc en multipliant cette fréquence par 3/2 : la deuxième note aura une fréquence de 300 Hz, la troisième note 450 Hz, la quatrième note 675 Hz, etc. De même, comme le montre la figure à droite, en utilisant le monocorde, on construit un intervalle de quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde. Ce rapport de 3/2 s'explique physiquement par la troisième harmonique produite lors de la production d'un son harmonique : la fréquence de la troisième harmonique est deux fois la fréquence de la quinte juste. Ainsi, jouer une note et sa quinte simultanément est harmonieux.

À partir de cette nouvelle note à la quinte on prend à nouveau les deux tiers de la corde, ce qui donne la deuxième quinte. En continuant ainsi, on retombe à la 12^e quinte sur une note très proche de celle de départ (en tenant compte du principe d'équivalence des octaves). Sur le plan mathématique, il se trouve que si on répète douze fois le passage à la quinte, on a franchi légèrement plus de sept octaves (${\displaystyle (3/2)^{12}\approx (2/1)^{7}}$), et on revient presque exactement sur la note initiale. Ce rapport de fréquence 3/2 est en effet en rapport multiplicatif « simple » (au sens des fractions continues) du rapport d'octave 2/1 : ${\displaystyle {\frac {\log {(3/2)}}{\log {(2/1)}}}\approx 7/12}$ (ou plus précisément 7,01955…/12)[12]. Ce fait mathématique est à l'origine de pratiquement toute la théorie musicale : division de l'octave en douze demi-tons, et rôle primordial de la quinte dans les accords musicaux.

Pour construire une gamme musicale avec ces notes, on les ramène à une même octave, soit dans un intervalle de rapport 2 (principe d'équivalence des octaves), et on ignore la différence entre ${\displaystyle ({\frac {3}{2}})^{12}}$ et ${\displaystyle {2^{7}}}$ (appelée comma pythagoricien) pour boucler la boucle. On peut choisir avec l'exemple précédent l'octave comprise entre 200 Hz et 400 Hz : il faut diviser par une puissance de 2 les fréquences se situant au-dessus des 400 Hz, ce qui donnera par exemple pour celle de 675 Hz le résultat 337,5 Hz (675/2¹).

On pourrait de la même manière écrire la suite symétrique des douze quintes pures descendantes en faisant apparaître cette fois les bémols. Cette suite est équivalente à l'octave près de celle des douze quartes pures ascendantes, 2/3 × 2 étant égal à 4/3[13].

On trie des quintes suivant l'ordre croissant des rapports ramenés dans l'intervalle [1 ; 2]. La dernière quinte est raccourcie à l'octave supérieure.

La gamme chromatique obtenue possède des intervalles irréguliers avec une alternance des deux valeurs. L'écart entre la 1^re et la 2^e note est appelé apotome. Autrement dit, c'est l'écart entre le do et le do♯. Les écarts se mesurent en faisant les quotients des rapports : ici l'apotome vaut donc ${\displaystyle {\frac {3^{7}/2^{11}}{1}}=3^{7}/2^{11}}$. On retrouve l'apotome entre le ré et ré♯, entre le mi et le mi♯, entre le fa et le fa♯, le sol et le sol♯, et le la et le la♯. L'écart entre la 2^e et la 3^e note, i.e. entre le do♯ et le ré, s'appelle leimma. Il vaut ${\displaystyle {\frac {3^{2}/2^{3}}{3^{7}/2^{11}}}=2^{8}/3^{5}}$. On retrouve cet intervalle entre le do♯ et le ré, le ré♯ et mi, le mi♯ et le fa♯, le fa♯ et le sol, le sol♯ et le la, le la♯ et le si et enfin le si et le do. D'une manière générale l'apotome est entre deux notes de nom identique tandis que le leimma est entre deux notes de noms différents. C'est la même règle avec les bémols obtenus dans la suite des quintes descendantes. L'apotome est légèrement plus grand que le leimma. Cette différence s'appelle le comma pythagoricien égal à ${\displaystyle {\frac {\text{apotome}}{\text{leimma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}=3^{12}/2^{19}}$. Le comma pythagoricien est perceptible à l'oreille car il vaut presque un quart de demi-ton. Le logarithme de base 2 permet de calculer une valeur d'environ 23 centièmes de demi-ton : ${\displaystyle 1200\times \log _{2}{\biggl (}{\frac {3^{12}}{2^{19}}}{\biggr )}=1200\times \log \left({\frac {3^{12}}{2^{19}}}\right)/\log 2\simeq 23,5}$.

Le comma pythagoricien représente la différence entre 7 octaves et 12 quintes pures[2]. Son rapport de fréquences vaut :

${\displaystyle {\frac {({\frac {3}{2}})^{12}}{2^{7}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}\approx 1,014}$

L'intervalle de 12 quintes pures représente une étendue légèrement supérieure à 7 octaves, la dernière quinte est raccourcie (du comma pythagoricien) pour donner à l'ensemble une étendue valant exactement 7 octaves : elle forme la quinte dite « du loup » car elle est très dissonante (elle « hurle »). Cette quinte rend difficile la transposition. C'est l'un des inconvénients à l'origine de la recherche de nouveaux tempéraments.

Dans la pratique, les musiciens qui préfèrent utiliser des octaves pures accordent leurs instruments sur une gamme pythagoricienne en reportant la quinte du loup dans un intervalle peu utilisé, en général sol# — mi♭. Les intervalles englobant la quinte du loup sonneront faux aussi, il faut donc soigneusement l'éviter.

La quinte du loup se trouve ici dans l'intervalle mi♯—do, mais elle est placée normalement dans la gamme dans l'intervalle sol♯—mi♭, car c'est la quinte la moins utilisée. Sa valeur est diminuée de ce comma par rapport à une quinte juste.

Le rapport de la quinte du loup se calcule en enlevant 11 quintes justes aux 7 octaves considérées :

${\displaystyle {\frac {2^{7}}{\frac {3^{11}}{2^{11}}}}={\frac {2^{18}}{3^{11}}}\approx 1,480}$, à comparer avec 1,5 pour une quinte juste.

La tierce majeure, qui vaut deux tons purs successifs, a pour rapport 9/8 × 9/8 = 81/64 dans la gamme pythagoricienne. Elle diffère légèrement de la tierce pure de rapport 5/4 = 80/64. La différence entre ces deux tierces est le comma syntonique.

Le ton pur pythagoricien, appelé l'épogdoon, a pour rapport 9/8 : deux quintes successives forment une neuvième, qui est une seconde redoublée. La neuvième réduite à l'octave donne le rapport : (3/2 × 3/2) / 2 = 9/8.

La construction de l'accord fait apparaître deux valeurs pour les demi-tons :

• le plus grand est l'apotome, qui vaut 3⁷/2¹¹ (environ 1,0679),
• le plus petit est le leimma, qui vaut 2⁸/3⁵ (environ 1,0535).

Le produit de ces deux intervalles vaut un ton pythagoricien : (3⁷/2¹¹)×(2⁸/3⁵) = 3²/2³ = 9/8.

Le quotient de ces deux intervalles vaut exactement le comma pythagoricien : (3⁷/2¹¹)/(2⁸/3⁵) = 3¹²/2¹⁹.

Une octave vaut : 5 tons + 2 leimmas, le leimma est donc l'équivalent dans l'échelle pythagoricienne du demi-ton diatonique.

Ces deux demi-tons n'étant pas égaux, il est difficile de transposer (jouer un même morceau avec une note tonique différente) ou de moduler (changement, même temporaire, de tonalité au cours du même morceau) dans cette gamme.

L'apotome est l'intervalle compris entre une note et son altération. Il a toujours la même étendue et a pour rapport 3⁷/2¹¹.

Le leimma (du grec λεῖμμα, « reste »), proche d'une moitié de ton, est le différentiel entre la quarte pure, intervalle de référence chez les Grecs, et deux tons entiers[15]. Il se calcule donc en soustrayant deux tons (9/8) à l'intervalle de quarte (4/3), soit :

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\times {\frac {8}{9}}\times {\frac {8}{9}}={\frac {2^{2}\times 2^{3}\times 2^{3}}{3\times 3^{2}\times 3^{2}}}={\frac {2^{8}}{3^{5}}}}$.

Le leimma correspond à l'intervalle compris entre une note altérée et sa voisine ne portant pas le même nom (ré♯ et mi par exemple, ou bien mi♭ et ré).

À partir d'une suite de 12 quintes pures, on désigne les notes de la gamme chromatique obtenue par les noms suivants :

mi♭ — si♭ — fa — do — sol — ré — la — mi — si — fa♯ — do♯ — sol♯

La quinte du loup sera placée dans l'intervalle le moins utilisé, souvent sol♯ - mi♭. Selon le choix de la note de départ, on obtiendra différents modes pour les sept notes de base. La gamme majeure se définit selon les rapports suivants :

Cette gamme peut aussi se définir par ses écarts (en plus ou en moins) par rapport au tempérament égal, exprimés en cents. La formule mathématique pour obtenir ces écarts est la suivante avec n pour le nombre de demi-tons de la gamme tempérée et R pour les rapports de la gamme pythagoricienne :

${\displaystyle {\Bigl (}1200\times \log \left(R\right)/\log 2{\Bigr )}-n\times 100}$

La gamme pythagoricienne majeure contient la quarte pure (rapport 4/3). On remarque dans la gamme des douze quintes successives ascendantes, qu'en remplaçant l'intervalle le plus proche de la quarte (celui de 11 quintes de rapport 3¹¹/2¹⁷) par la quarte elle-même soit une quinte descendante, on retrouve apotomes et limmas. Cela revient à remplacer le mi♯ par le fa. Dans la gamme chromatique on peut remplacer aussi le sol♯, le ré♯ et le la♯ par le si♭, le mi♭ et le la♭. Cette substitution déplace la quinte du loup dans l'intervalle do♯ — la♭, ce qui est plus judicieux du point de vue musical car dans une tonalité de do majeur ou la mineur cet intervalle est assez rare. On vérifie bien que (2⁷/3⁴) / (3⁷/2¹¹) = 2¹⁸/3¹¹ qui est la valeur de la quinte du loup. On remarque qu'en plus les rapports de fréquence sont moins chargés en grands nombres de puissance :

• Gamme pharaonique
• Loup

Application en ligne pour écouter la gamme pythagoricienne et la comparer avec d'autres gammes

• Claude Abromont et Eugène de Montalembert, Guide de la théorie de la musique, Librairie Arthème Fayard et Éditions Henry Lemoine, coll. « Les indispensables de la musique », 2001, 608 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-213-60977-5)
• Patrice Bailhache : Une histoire de l'acoustique musicale - CNRS Éditions Paris 2001 - (ISBN 2-271-05840-6)
• Roland de Candé, Dictionnaire de musique, Paris, Éditions du Seuil, coll. « Microcosme », 1961 (ISBN 978-2-02-000297-4 et 2-02-000297-3)
• Jacques Chailley, La musique grecque antique, Paris, Les Belles Lettres, coll. « Études anciennes », 1979, 219 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-251-32512-5)
• Edmond Costère, Lois et styles des harmonies musicales, Paris, PUF, 1954.
• Edmond Costère, Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
• Devie Dominique, Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
• Franck Jedrzejewski: Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
• (en) Guerino Mazzola, The Topos Geometry of Musical Logic (in Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, p. 199-213).
• (en) Guerino Mazzola, The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
• (en) E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.
• Heiner Ruland, Évolution de la musique et de la conscience : Approche pratique des systèmes musicaux, ÉAR, Genève 2005, (ISBN 2-88189-173-X)
• Edith Weber, La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, n^o 2 (1965), p. 241-243 - doi:10.2307/927346