Monocorde

Boèce attribue l'invention du monocorde en tant qu'instrument expérimental à Pythagore, mais il existait probablement avant en Égypte[1].

Pythagore a fait la démonstration que la hauteur ${\displaystyle N}$, du son est inversement proportionnelle à la longueur ${\displaystyle L}$ de la corde. De cette expérience, Pythagore tire les conclusions suivantes :

• En plaçant le chevalet au milieu de la corde — donc, en divisant celle-ci en deux parties égales —, la corde en question fait entendre l'octave supérieure du son de la corde "à vide" (c'est-à-dire non divisée) alors que les mise en vibration des deux parties égales de la corde situées de part et d'autre du chevalet, fait entendre l'unisson.

• De la même façon, en plaçant le chevalet au tiers de la corde — donc, en divisant celle-ci en trois —, la corde en question donne alors le redoublement de la quinte supérieure du son initial (autrement dit, la « douzième supérieure »). De l'autre côté du chevalet, avec une longueur de ${\displaystyle 2/3}$, on obtient "tout naturellement" la quinte supérieure du son initial.

En divisant la corde en intervalles égaux de 2 à 6 on obtient les principaux accords purs[1] :

• par 2 : c'est l'octave supérieure par rapport à la corde entière (rapport de hauteur 2/1) ;
• par 3 : c'est la quinte (rapport de hauteur 3/2, c'est-à-dire qu'on multiplie la fréquence de la fondamentale par 3/2 pour obtenir celle de la quinte : si la longueur = 2/3, alors la hauteur = 1/L = 3/2)
• par 4 : c'est la quarte (rapport 4/3) ;
• par 5 : c'est la tierce majeure (rapport 5/4) ;
• par 6 : c'est la tierce mineure (rapport 6/5).

Soit ${\displaystyle L_{0}}$ la longueur de la corde, et ${\displaystyle N_{0}}$ sa fréquence ; Pythagore a donc remarquéque ${\displaystyle {\frac {N}{N_{0}}}={\frac {L_{0}}{L}}}$.

On remarque aussi que ${\displaystyle N.L=N_{0}.L_{0}=Constante}$

Comme ${\displaystyle N=N_{0}({\frac {L_{0}}{L}})}$, la pratique arithmétique grecque fait noter les nombres rationnels plus grands que 1 comme 1 + X.

En posant ${\displaystyle {\frac {L_{0}}{L}}=1+X}$, on obtient ${\displaystyle N=N_{0}(1+X)}$

d'où on déduit ${\displaystyle X={\frac {N}{N_{0}}}-1={\frac {N-N_{0}}{N_{0}}}}$, la notation revient donc à nommer X, depuis X = 0 pour le do à X=1 pour le do de l'octave supérieur.

On déduit aussi :

${\displaystyle X={\frac {L_{0}-L}{L}}}$ et ${\displaystyle L={\frac {L_{0}}{1+X}}}$

Pour un ${\displaystyle X}$ donné, on voit que la corde est partagée en deux longueurs : ${\displaystyle XL=(L_{0}-L)}$ et ${\displaystyle L.}$

Or ${\displaystyle XL=L_{0}{\frac {X}{1+X}}}$

Par exemple, si la corde à vide donne un Do, le Sol a pour fréquence N = No (1 + 1/2). Il se joue donc avec la frette au [(1/2/(1+1/2)]=1/3 de la longueur.

Les sept notes de la gamme correspondaient à des rationnels "simples" et approximatifs d'une assonance.

Le tableau ci-après donne les valeurs X, encadrant 1+1/2 == 1+5/10(qu'on pourra réduire aisément) et les écarts (rapport de fréquences de deux notes consécutives) ; il apparaît que ces écarts ne sont évidemment pas constants, et il y a un problème à régler simplement l'écart entre les notes (l'écart musical ${\displaystyle {\sqrt {2}}=2^{6 \over 12}}$, irrationnel, conduira à la crise majeure des mathématiques, appelée crise pythagoricienne).