Théorème fondamental de l'analyse

Illustration animée de l'intégration selon Riemann.

Soient f une fonction localement Riemann-intégrable[N 3] sur un intervalle I, a un point de I, et F l'application intégrale associée, définie sur I par

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

(t étant une variable muette d'intégration).

Un énoncé simplifié courant est :

Si f est continue sur I alors :

• F est dérivable sur I et sa dérivée est égale à f ;
• Si G est une primitive de f, alors la fonction G – F est constante.

On peut le préciser comme suit :

1. Si f admet une limite à droite f(c⁺) (resp. une limite à gauche f(c^–)) en un point c de I, alors F admet f(c⁺) pour dérivée à droite (resp. f(c^–) pour dérivée à gauche) en ce point[7] ;
2. Si f est réglée[N 4] alors F est une primitive généralisée[N 5] de f[8] ;
3. Si G et H sont deux primitives généralisées de f, alors G – H est constante.

1. Supposons que f admet une limite à droite f(c⁺) en c. Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que pour tout t ∈ ]c, c + η], f(t) soit (bien défini et) ε-proche de f(c⁺). Par suite, pour tout x ∈ ]c, c + η] (et en commençant par utiliser la relation de Chasles) :${\displaystyle {\begin{aligned}\left|F(x)-F(c)-(x-c)f(c^{+})\right|&=\left|\int _{c}^{x}f(t)\mathrm {d} t-(x-c)f(c^{+})\right|\\&=\left|\int _{c}^{x}\left(f(t)-f(c^{+})\right)\mathrm {d} t\right|\\&\leq \int _{c}^{x}\left|f(t)-f(c^{+})\right|\mathrm {d} t\\&\leq \varepsilon (x-c)\end{aligned}}}$donc${\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c^{+})\right|\leq \varepsilon .}$On raisonnerait de même pour la dérivée à gauche.
2. Par construction, F est continue. Supposons que f est réglée. Alors, ses discontinuités sont de première espèce donc (cf. Théorème de Froda) forment un ensemble au plus dénombrable, si bien que (d'après 1.) F est une primitive généralisée de f.
3. G – H est continue et de dérivée nulle sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable. Elle est donc constante[9], d'après l'inégalité des accroissements finis généralisée.

Ce premier théorème fondamental s'étend aux fonctions non continues de la façon suivante : si f est une fonction intégrable au sens de Lebesgue sur [a, b] et si F est définie sur [a, b] par ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f\,\mathrm {d} \lambda }$ alors, pour tout point de Lebesgue c de f (donc presque partout — d'après le théorème de différentiation de Lebesgue — et en particulier si f est continue en c), ${\displaystyle F^{\prime }(c)=f(c)}$. Plus généralement[10] :

Si f est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock sur [a, b], alors la fonction ${\displaystyle F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ admet presque partout une dérivée égale à f.

Intuitivement, le second théorème dit simplement que si l'on connaît tous les petits changements instantanés d'une certaine quantité, alors on peut calculer le changement général de cette quantité en additionnant tous les petits changements.

Pour se donner une idée de cette affirmation, commençons par donner un exemple. Supposons que nous voyagions sur une ligne droite, et que nous partions à l'instant t = 0, et avec une vitesse variable. Si, à l'instant t, d(t) indique notre distance à l'origine et v(t) représente notre vitesse, alors v(t) est le taux d'accroissement « infinitésimal » de d et est la valeur de la dérivée de d en t. Supposons que nous n'ayons qu'un compteur de vitesse qui indique la vitesse v(t), et que nous voulions retrouver notre distance d(t). Le théorème fondamental de l'analyse dit qu'il suffit pour cela de chercher une primitive de v. Et ceci est exactement ce que nous aurions fait, même sans connaître ce théorème : enregistrer la vitesse à des intervalles réguliers, peut-être toutes les minutes, et alors multiplier la première vitesse par 1 minute pour obtenir une estimation de la distance parcourue dans la première minute, puis multiplier la deuxième vitesse par 1 minute pour obtenir la distance parcourue dans la deuxième minute etc., et enfin ajouter toutes les distances précédentes. Pour obtenir une meilleure estimation de notre distance actuelle, nous avons besoin d'enregistrer les vitesses à des intervalles de temps plus courts. La limite quand la longueur des intervalles tend vers zéro est exactement la définition de l'intégrale de v.

• Si F est une primitive de f sur I et si f est localement intégrable au sens de Lebesgue[N 3], alors[11]${\displaystyle \forall a,b\in I\quad \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} \lambda =F(b)-F(a),}$ce qui équivaut à : F est absolument continue et F' = f presque partout (la continuité absolue est indispensable, comme le montre le contre-exemple de l'escalier de Cantor).
• Plus généralement[12] : si F est une primitive généralisée[N 5] de f, alors f est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock et l'on a encore (en ce sens)${\displaystyle \forall a,b\in I\quad \int _{a}^{b}f=F(b)-F(a).}$

Le second théorème fondamental, appliqué à une fonction F de classe C¹, est la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 0. Cette formule se généralise à l'ordre n, pour une fonction de classe Cⁿ⁺¹.

Il existe une version du second théorème fondamental pour les fonctions de la variable complexe : si U est un ouvert de ℂ et si f : U → ℂ admet une primitive holomorphe F sur U alors, pour toute courbe γ : [a, b] → U, l'intégrale sur cette courbe peut être obtenue par :

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=F{\bigl (}\gamma (b){\bigr )}-F{\bigl (}\gamma (a){\bigr )}.}$

Le théorème fondamental peut être généralisé à des intégrales sur des contours ou sur des surfaces dans des dimensions supérieures et sur des espaces vectoriels (voir le théorème de Stokes).

Dérivation des distributions

(en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997 (lire en ligne), p. 674-677 (pour des fonctions à valeurs dans un espace de Banach)