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Théorème de plongement de Whitney

En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Whitney fait le lien entre les notions de variété abstraite et de sous-variété de l'espace vectoriel réel Rn : toute variété différentielle de dimension m (à base dénombrable par définition[1] - [2] - [3] - [4]) se plonge dans l'espace euclidien de dimension 2m[5] - [6]. Cette valeur 2m peut bien sûr être diminuée dans certains exemples particuliers, comme la sphère. Mais pour l'exemple de l'espace projectif réel de dimension m = 2k, la constante 2m est optimale.

Une version faible plus élémentaire consiste à plonger la variété seulement dans R2m+1. Cette version, souvent démontrée dans le cas particulier d'une variété compacte[7], s'étend facilement au cas général, avec un plongement qui est encore d'image fermée[8].

Exemples
Plongement de la surface d'une sphère en dimension 3.
Une bouteille de Klein. Sa surface est plongeable en 4D, mais pas en 3D (c'est pourquoi l'illustration montre une intersection).

Voici des exemples qui illustrent le théorème de plongement de Whitney. Par exemple, une sphère qui est de dimension 2 peut se plonger en dimension 3. Un autre exemple est la bouteille de Klein, qui est une surface (dimension 2) et qui se plonge en dimension 4.

Remarque historique

La preuve de la version faible, en 1936, fut l'occasion pour Hassler Whitney de donner la première formulation complète du concept de variété différentielle[1], concept déjà utilisé de façon implicite dans les travaux de Riemann, les travaux sur les groupes de Lie, et en relativité générale depuis de nombreuses années. Cette formulation utilisa et permit de dépasser celle de Hermann Weyl dans son livre de 1913, Die Idee der Riemannschen Fläche (Le concept de surface de Riemann). Whitney publia la version forte de son théorème en 1944[9].

Idée de preuve de la version faible

Dans un premier temps, on montre en utilisant des partitions de l'unité que la variété peut être plongée dans RN.

Cette technique ne donne aucun contrôle sur la valeur de N mais, à l'aide du théorème de Sard, on montre que tant que N ≥ 2m + 2 (m étant la dimension de la variété), presque toutes les projections (obliques) sur RN–1 restent des sous-variétés. On peut donc ainsi descendre jusqu'à 2m + 1.

Optimalité

Soit une variété différentielle M de dimension m, plongée dans l'espace Rm+n. Le fibré normal est un fibré vectoriel de base M et de rang n, dont la classe totale de Stiefel-Whitney w est l'inverse de la classe totale de Stiefel-Whitney w du fibré tangent de M. Les identités wi = 0 pour i ≥ n impliquent, compte tenu de w fixé, des contraintes sur M dépendant de la topologie globale de M.

Notes et références
  1. (en) H. Whitney, « Differentiable manifolds », Ann. of Math., vol. 37, no 3,‎ , p. 645-680 (lire en ligne) (p. 646-647).
  2. (en) Glen E. Bredon (en), Topology and Geometry [détail de l’édition], p. 68-69, Definition 2.1, aperçu sur Google Livres.
  3. (en) Masahisa Adachi, Embeddings and immersions, AMS, (lire en ligne), p. 7, Definition 1.1.
  4. Cette condition est trivialement nécessaire. Par ailleurs, elle équivaut, pour toute variété topologique, à la σ-compacité.
  5. Adachi 1993, p. 67, Theorem 2.11 (Whitney's embedding theorem), le démontre dans le cas où la variété est compacte.
  6. Whitney 1944, p. 237, à la suite de sa démonstration, pose une question : « Does there exist an imbedding, for M open, with no limit set? » à laquelle (en) John Milnor et James Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, (lire en ligne), p. 120, font écho : « According to [Whitney, 1944], every smooth n−manifold whose topology has a countable basis can be smoothly embedded in R2n. Presumably it can be embedded as a closed subset of R2n, although Whitney does not prove this. »
  7. Bredon, p. 91, 10.7. Whitney Embedding Theorem, aperçu sur Google Livres, le démontre pour une variété compacte lisse. Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 102, « Corollaire 3.8 (théorème de Whitney “facile”) », le démontrent de même et remarque que la même méthode fournit une immersion dans R2m. (en) Morris W. Hirsch, Differential Topology [détail des éditions], p. 24-26, Theorem 3.5 et p. 27, en fait autant pour une variété (compacte) de classe Cr avec 1 ≤ r ≤ ∞.
  8. Bredon, p. 92, Theorem 10.8, aperçu sur Google Livres ; Adachi 1993, p. 56, Theorem 2.6 (Whitney's embedding theorem).
  9. (en) H. Whitney, « The self-intersections of a smooth n-manifold in 2n-space », Ann. of Math., vol. 45, no 2,‎ , p. 220-246 (JSTOR 1969265, lire en ligne), Theorem 5, p. 236-237.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) High codimension embeddings: classification sur le Manifold Atlas Project

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