Théorème de Steinhaus

Le théorème de Steinhaus[1] - [2] est un résultat mathématique d'analyse réelle selon lequel si une partie $A$ de l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n}$ est mesurable et de mesure strictement positive, alors l'ensemble $A-A$ des différences d'éléments de $A$ contient une boule de centre 0 et de rayon non nul. Il se généralise aux groupes localement compacts et aux différences de deux parties non nécessairement égales.

Généralisations

Si $G$ est un groupe localement compact et $A$ une partie de $G$ de mesure de Haar (à gauche) strictement positive, alors l'ensemble $AA^{-1}=\{ab^{-1}\mid a,b\in A\}$ est un voisinage de l'élément neutre.
La conclusion s'étend au produit de deux parties non nécessairement symétriques l'une de l'autre : si $A$ et $B$ sont deux parties de $G$ de mesures de Haar non nulles, alors l'ensemble $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$ est d'intérieur non vide[2].
La conclusion s'étend aussi, dans un groupe topologique quelconque, à toute partie $A$ non maigre ayant la propriété de Baire, c'est-à-dire égale à un ouvert à un maigre près[3] - [4].

Démonstrations

La preuve suivante de la première généralisation est due à Karl Stromberg[5]. Notons $λ$ la mesure de Haar et supposons que $0 < 3ε = λ(A) < \infty$ . Par régularité de $λ$ , il existe un compact $K$ inclus dans $A$ et un ouvert $U$ contenant $A$ tels que $λ(K) > 2ε$ et $λ(U) < 4ε$ , donc tels que $λ(U) < 2λ(K)$ . Comme l'ouvert $U$ contient le compact $K$ , il contient $VK$ pour un certain voisinage $V$ de l'élément neutre. On conclut en montrant que $V$ est inclus dans $KK -1$ : pour tout $v\inV$ , $λ(vK\capK) = λ(vK)+λ(K)-λ(vK\cupK) \geq 2λ(K)-λ(U) > 0$ donc $vK\capK$ est non vide, autrement dit $v\inKK -1$ .
La preuve suivante de la deuxième généralisation est due à André Weil[6] - [7]. Soient $A$ et $B$ de mesures strictement positives et finies. Le produit de convolution de leurs indicatrices est une fonction continue. D'après le théorème de Fubini, cette fonction est non nulle, ce qui conclut.

Corollaire

Dans ZFC (la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix mais sans l'hypothèse du continu), toute partie de $\mathbb {R} ^{n}$ Lebesgue-mesurable et non négligeable a la puissance du continu[8].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Steinhaus theorem » (voir la liste des auteurs).

H. Steinhaus, « Sur les distances des points des ensembles de mesure positive », Fund. Math., vol. 1,‎ 1920, p. 99-104.
(en) Martin Väth, Integration Theory : A Second Course, World Scientific, 2002, 277 p. (ISBN 978-981-238-115-6, lire en ligne), p. 198.
(en) A. B. Kharazishvili, Applications of point set theory in real analysis, Springer, 1998 (ISBN 978-0-79234979-2), p. 132.
Démontré initialement pour ℝ^$n$ par Sophie Piccard, « Sur les ensembles de distances des ensembles de points d'un espace Euclidien », Mém. Univ. Neuchâtel, vol. 13,‎ 1939 (présentation en ligne).
(en) Karl Stromberg, « An Elementary Proof of Steinhaus's Theorem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 36, n^o 1,‎ 1972, p. 308 (lire en ligne).
(en) Antal Járai, Regularity Properties of Functional Equations in Several Variables, Springer, 2005, 363 p. (ISBN 978-0-387-24413-6, lire en ligne), p. 53-54.
A. Weil, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Hermann, coll. « Actualités Sci. Indust. » (n^o 869), 1951, 2^e éd., p. 50.
Une autre démonstration de ce corollaire consiste à remarquer qu'un tel ensemble contient un compact non dénombrable donc contient un ensemble parfait non vide.

Article connexe

Conjecture de Falconer (en)

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