Théorème de Kurosh sur les sous-groupes

Après la preuve originale de Kurosh de 1934, de nombreuses autres démonstrations ont été données, notamment celles de Harold W. Kuhn en 1952[2], de Saunders Mac Lane en 1958[3] et d'autres encore. Le théorème a également été généralisé pour décrire les sous-groupes de produits amalgamés libres et d''extensions HNN[4] - [5]. D'autres généralisations incluent le cas de sous-groupes de produits profinis libres[6] et une version du théorème de Kurosh pour les groupes topologiques[7].

Dans un cadre contemporain, le théorème de Kurosh est un corollaire immédiat des résultats structurels de base de la théorie de Bass-Serre (en) sur les actions de groupes sur les arbres[8].

Soit ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ le produit libre de groupes ${\displaystyle G_{i}}$ pour ${\displaystyle i\in I}$ et soit ${\displaystyle H\leq G}$ un sous-groupe de ${\displaystyle G}$. Alors

${\displaystyle H=H_{0}\,*(\,{\underset {j\in J}{*}}g_{j}H_{j}g_{j}^{-1})}$,

où ${\displaystyle H_{0}}$est un sous-groupe libre de ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle J}$ est un ensemble d'indices, et pour chaque ${\displaystyle j\in J}$ , ${\displaystyle g_{j}\in G}$ et ${\displaystyle H_{j}}$est un sous-groupe d'un ${\displaystyle G_{j}}$.

Si de plus l'indice ${\displaystyle [G:H]}$ est fini et égal à ${\displaystyle m}$ alors le groupe libre ${\displaystyle H_{0}}$ est de rang

${\displaystyle \mathrm {rg} (H_{0})=\sum _{\alpha \in A}(m-|R_{\alpha }|)+1-m}$[9] - [10] - [11].

• Extension HNN
• Théorie géométrique des groupes
• Théorème de Nielsen-Schreier