Théorème de Carnot (courbe algébrique)

On se donne dans un triangle ${\displaystyle ABC}$ six points : ${\displaystyle C_{A},C_{B}}$ sur le côté ${\displaystyle (AB)}$, ${\displaystyle A_{B},A_{C}}$ sur le côté ${\displaystyle (BC)}$ et ${\displaystyle B_{C},B_{A}}$ sur le côté ${\displaystyle (AC)}$ .

Ces six points sont situés sur une même conique si et seulement si on a la relation suivante [1] - [2] - [3] :

${\displaystyle {\frac {\overline {AC_{A}}}{\overline {BC_{A}}}}\cdot {\frac {\overline {AC_{B}}}{\overline {BC_{B}}}}\cdot {\frac {\overline {BA_{B}}}{\overline {CA_{B}}}}\cdot {\frac {\overline {BA_{C}}}{\overline {CA_{C}}}}\cdot {\frac {\overline {CB_{C}}}{\overline {AB_{C}}}}\cdot {\frac {\overline {CB_{A}}}{\overline {AB_{A}}}}=1}$.

On peut voir ce théorème comme une généralisation au degré 2 du théorème de Ménélaüs portant sur l'alignement de trois points situés sur les côtés d'un triangle.

Ellipse inscrite passant par les pieds de trois céviennes concourantes.

Les droites joignant les sommets d'un triangle à deux points donnés coupent les côtés opposés en six points qui sont sur une même conique [2].

On applique le théorème de Ceva aux trois céviennes passant par le premier point, ainsi qu'aux trois céviennes passant par le deuxième, et le produit des deux relations de Ceva donne la relation de Carnot.

En confondant les deux points, on obtient que les pieds de trois céviennes concourantes sont les points de contact d'une conique inscrite.

Le théorème précédent se généralise à une courbe algébrique sécante à un polygone fermé plan[4] - [5] - [6], ainsi qu'à l'espace[4] - [7] - [8] - [9] - [10].

Énoncé dans le cas du triangle

Théorème de Carnot pour une courbe de degré ${\displaystyle n}$ [1] - [2] - [3] - [11].

Étant donné une courbe algébrique quelconque de degré ${\displaystyle n}$ coupant un triangle ${\displaystyle ABC}$ :

soit ${\displaystyle A_{1}}$ (resp. ${\displaystyle B_{1}}$ et ${\displaystyle C_{1}}$) le produit des ${\displaystyle n}$ distances, réelles ou imaginaires, de ${\displaystyle A}$ (resp. ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$) aux ${\displaystyle n}$ points d'intersection de la courbe avec le côté ${\displaystyle (AB)}$ (resp. ${\displaystyle (BC)}$ et ${\displaystyle (CA)}$),

et soient de même ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle B_{2}}$ et ${\displaystyle C_{2}}$ les produits semblables associés aux côtés ${\displaystyle (AC)}$, ${\displaystyle (BA)}$ et ${\displaystyle (CB)}$. Alors

${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}=A_{2}B_{2}C_{2}.}$

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-916352-08-4)

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