Théorème d'Ulam

Par exemple, si ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}}\right)=\left(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}\left(\mathbb {N} \right)\right)}$, une mesure non nulle ne peut pas être diffuse. En effet, si une mesure est non nulle, alors ${\textstyle \mu \left(\mathbb {N} \right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu \left(\{n\}\right)>0}$ par σ-additivité donc nécessairement, ${\displaystyle \mu \left(\{n\}\right)}$ est non nul pour au moins un ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. On arrive à la même conclusion pour n'importe quel univers au plus dénombrable muni de sa tribu discrète.

Ce théorème montre que les probabilités sur un tel espace sont nécessairement discrètes[3]. En effet, soit ${\displaystyle D=\left\{\omega \in \Omega |\mathbb {P} \left(\left\{\omega \right\}\right)>0\right\}}$. Alors, on obtient ${\textstyle D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left\{\omega \in \Omega |\mathbb {P} \left(\left\{\omega \right\}\right)>{\frac {1}{n}}\right\}}$, et ${\textstyle \left\{\omega \in \Omega |\mathbb {P} \left(\left\{\omega \right\}\right)>{\frac {1}{n}}\right\}}$ est toujours de cardinal au plus ${\displaystyle n}$. Par conséquent, ${\displaystyle D}$ est au plus dénombrable. Or, l'évènement ${\displaystyle \Omega '=\Omega \setminus D}$ est ${\displaystyle \mathbb {P} }$-négligeable, sinon ${\textstyle {\frac {\mathbb {P} }{\mathbb {P} (\Omega ')}}}$ serait une probabilité diffuse sur ${\displaystyle \left(\Omega ',{\mathcal {P}}\left(\Omega '\right)\right)}$ qui a la puissance du continu, ce qui est impossible en vertu du théorème d'Ulam. ${\displaystyle D}$ est donc ${\displaystyle \mathbb {P} }$-presque sûr.

Si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure non nulle bornée et diffuse sur ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, alors ${\textstyle {\frac {\mu }{\mu (\Omega )}}}$ est une probabilité diffuse sur ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$.

${\displaystyle \mathbb {Q}$ :{\begin{array}{ccl}\{A\cap \Omega '|A\in {\mathcal {A}}\}&\rightarrow &[0;1]\\A'&\mapsto &\mathbb {P} (A')\end{array}}} est une mesure diffuse bornée non nulle donc d'après le lemme (i), il existe une probabilité diffuse sur la tribu trace.

On considère un ensemble ${\displaystyle \Omega }$ de cardinal ${\displaystyle \aleph _{1}}$. D'après l'hypothèse du continu, il a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est équipotent à l'ensemble des nombres réels.

La démonstration qui suit de ce lemme utilise à la fois l'hypothèse du continu et l'axiome du choix via le théorème de Zermelo.

Notons ${\textstyle S(z)=\{x\in \Omega |x\prec z\}}$. L'axiome du choix nous permet de considérer, pour tout ${\textstyle z\in \Omega }$ une injection ${\displaystyle \varphi _{z}:S(z)\hookrightarrow \mathbb {N} }$, qu'on prolonge en une application ${\displaystyle \varphi '_{z}:\Omega \rightarrow \mathbb {N} \cup \{+\infty \}}$ en posant ${\displaystyle \varphi '_{z}(x)=+\infty }$ pour ${\displaystyle x\notin S(z)}$. Alors posons, pour ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ et ${\displaystyle x\in \Omega }$

$${\displaystyle F_{x}^{n}=\{z\in \Omega |z\succ x,\varphi '_{z}(x)=n\}}$$

La collection des ${\displaystyle (F_{x}^{n})}$ est appelée matrice d'Ulam. On dispose les ensembles ainsi :

$${\displaystyle {\begin{matrix}F_{x_{0}}^{0}&F_{x_{1}}^{0}&\cdots \\F_{x_{0}}^{1}&F_{x_{1}}^{1}\\\vdots &&\ddots \end{matrix}}}$$

On remarque alors que :

• sur chaque ligne, les ensembles sont deux à deux disjoints par injectivité des ${\displaystyle \varphi _{z}}$.
• sur chaque colonne, on a : ${\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{x}^{n}=\{y\in \Omega |y\succ x\}=\Omega \setminus S(x+1)}$

Or, quel que soit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, et ${\displaystyle J\subset \Omega }$ fini, ${\textstyle \mathbb {P} \left(\biguplus _{x\in J}F_{x}^{n}\right)=\sum _{x\in J}\mathbb {P} (F_{x}^{n})\leqslant 1}$ donc ${\textstyle \left(\mathbb {P} \left(F_{x}^{n}\right)\right)_{x\in \Omega }}$ est sommable et nécessairement ${\displaystyle \{x\in \Omega |\mathbb {P} (F_{x}^{n})>0\}}$ est au plus dénombrable, donc ${\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{x\in \Omega |\mathbb {P} (F_{x}^{n})>0\}}$ est aussi au plus dénombrable. Par conséquent, comme ${\displaystyle \Omega }$ est de cardinal strictement supérieur à celui de ${\displaystyle \mathbb {N} }$, il existe nécessairement une colonne d'indice ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ dont tous les ${\displaystyle F_{x_{0}}^{n}}$ sont de probabilité nulle. Donc ${\textstyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{x_{0}}^{n}\right)=0}$ par σ-additivité, d'où ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\Omega \setminus S(x_{0}+1)\right)=0}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} (S(x_{0}+1))=1}$. Comme ${\displaystyle S(x_{0}+1)}$ est au plus dénombrable et ${\displaystyle \mathbb {P} }$ σ-additive, ${\textstyle \mathbb {P} \left(S(x_{0}+1)\right)=\sum _{x\in S(x_{0}+1)}\mathbb {P} (\{x\})=1}$ et donc il existe au moins un atome dans ${\displaystyle S(x_{0}+1)}$.

L'hypothèse d'Ulam est plus faible : il suppose que tout cardinal inférieur à ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$est accessible (au sens faible). Plus précisément si on suppose l'existence de ${\displaystyle \aleph _{\mu }}$, plus petit cardinal (infini) pour lequel il existe une probabilité diffuse ${\displaystyle \mathbb {P} }$, alors ${\displaystyle \aleph _{\mu }}$ est nécessairement faiblement inaccessible.

En effet, si on suppose ${\displaystyle \mu =\nu +1}$, par définition de ${\displaystyle \aleph _{\mu }}$, il n'existe pas de mesure non nulle diffuse bornée sur ${\displaystyle (\aleph _{\nu },{\mathcal {P}}(\aleph _{\nu }))}$ ni pour les cardinaux inférieurs. On montre alors avec une démonstration du même type que pour ${\displaystyle \mu =1}$ que ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ne peut pas être diffuse. On pose ${\displaystyle S(z)=\{x\in \aleph _{\mu }|x<z\}}$, et on choisit une injection ${\displaystyle \varphi _{z}:S(z)\hookrightarrow \aleph _{\nu }}$ pour tout ${\displaystyle z\in \aleph _{\mu }}$, qui existent nécessairement puisque les segments initiaux propres de ${\displaystyle \aleph _{\mu }}$ sont de cardinal ${\displaystyle <\aleph _{\mu }}$. On pose alors pour ${\displaystyle x\in \aleph _{\mu },n\in \aleph _{\nu }}$ : ${\displaystyle F_{x}^{y}=\{n\in \aleph _{\mu }|z>x,\varphi _{z}(x)=n\}}$.

$${\displaystyle {\begin{matrix}F_{0}^{0}&F_{1}^{0}&\cdots \\F_{0}^{1}&F_{1}^{1}\\\vdots &&\ddots \end{matrix}}}$$

Sur chaque ligne, les ensembles sont deux à deux disjoints, et sur chaque colonne, ${\textstyle \bigcup _{n\in \aleph _{\nu }}F_{x}^{n}=\{y\in \aleph _{\mu }|y>x\}=\aleph _{\mu }\setminus S(x+1)}$. Pour ${\displaystyle n\in \aleph _{\nu },J\subset \aleph _{\mu }}$ fini, ${\textstyle \mathbb {P} \left(\biguplus _{x\in J}F_{x}^{n}\right)=\sum _{x\in J}\mathbb {P} (F_{x}^{n})\leqslant 1}$ donc ${\textstyle \left(\mathbb {P} \left(F_{x}^{n}\right)\right)_{x\in \aleph _{\mu }}}$ est sommable et nécessairement ${\displaystyle \{x\in \aleph _{\mu }|\mathbb {P} (F_{x}^{n})>0\}}$ est au plus dénombrable, d'où ${\textstyle \bigcup _{n\in \aleph _{\nu }}{\displaystyle \{x\in \aleph _{\mu }|\mathbb {P} (F_{x}^{n})>0\}}}$ est de cardinal au plus ${\displaystyle \aleph _{\nu }}$ (en effet, cet ensemble s'injecte dans ${\displaystyle \aleph _{0}\times \aleph _{\nu }}$ donc dans ${\textstyle \aleph _{\nu }^{2}\approx \aleph _{\nu }}$). Comme ${\displaystyle \aleph _{\nu }<\aleph _{\mu }}$, il existe ${\displaystyle x_{0}\in \aleph _{\mu }}$ tel que ${\displaystyle \forall n\in \aleph _{\nu },\mathbb {P} (F_{x_{0}}^{n})=0}$. Posons alors ${\displaystyle \mu$ :{\begin{array}{ccl}{\mathcal {P}}(\aleph _{\nu })&\rightarrow &[0;1]\\A&\mapsto &\mathbb {P} \left(\biguplus _{n\in A}F_{x_{0}}^{n}\right)\end{array}}} . On vérifie que c'est une mesure bornée diffuse, elle est donc nécessairement nulle d'après le lemme (i), d'où ${\displaystyle \mathbb {P} (\aleph _{\mu }\setminus S(x_{0}+1))=0}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} (S(x_{0}+1))=1}$. D'après le lemme (ii), il existe une probabilité diffuse sur ${\displaystyle S(x_{0}+1)}$ qui est de cardinal au plus ${\displaystyle \aleph _{\nu }}$, ce qui contredit la minimalité de ${\displaystyle \aleph _{\mu }}$.

En effet, supposons qu'il existe ${\displaystyle \nu <\mu }$ et une suite ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \aleph _{\nu }}}$ d'ensembles, chacun de cardinal ${\displaystyle <\aleph _{\mu }}$ tels que ${\textstyle \bigcup _{n\in \aleph _{\nu }}A_{n}=\aleph _{\mu }}$. On peut alors poser, ${\displaystyle A'_{0}=A_{0}}$ et pour ${\displaystyle n\in \aleph _{\mu }}$, ${\textstyle A'_{n}=A_{n}\setminus \left(\bigcup _{k<n}A_{k}\right)}$. Ainsi construits, les ${\displaystyle A'_{n}}$ sont disjoints deux à deux. ${\displaystyle \mathbb {Q}$ :{\begin{array}{ccl}{\mathcal {P}}(\aleph _{\nu })&\rightarrow &[0;1]\\A&\mapsto &\mathbb {P} (\biguplus _{n\in A}A'_{n})\end{array}}} est alors une probabilité sur ${\displaystyle (\aleph _{\nu },{\mathcal {P}}(\aleph _{\nu }))}$, qui a au moins un atome sinon cela contredirait la minimalité de ${\displaystyle \aleph _{\mu }}$. Il existe donc ${\displaystyle n_{0}\in \aleph _{\nu }}$ tel que ${\displaystyle \mathbb {P} (A'_{n_{0}})>0}$, donc une probabilité diffuse sur ${\displaystyle (A'_{n_{0}},{\mathcal {P}}(A'_{n_{0}}))}$ d'après le lemme (ii), ce qui est faux par minimalité de ${\displaystyle \aleph _{\mu }}$.