Symbole d'un opérateur différentiel

Soit P un opérateur différentiel linéaire d'ordre k dans R^d. Alors P est un polynôme par rapport à la dérivation D, qui peut s'écrire à l'aide de multi-indices sous la forme

${\displaystyle P=p(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }.}$

Le symbole de P est le polynôme p défini par

${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }.}$

Le symbole principal est la partie de plus haut degré de p notée σ_P et définie par

${\displaystyle \sigma _{P}(\xi )=\sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }.}$

Le symbole de P apparait naturellement en lien avec la transformée de Fourier. Soit f une fonction appartenant à l'espace de Schwartz. Alors, par la formule d'inversion de Fourier,

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{d}}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Cela montre que P peut se voir comme un multiplicateur de Fourier. Ce genre de considérations est à la base de la notion d'opérateurs pseudo-différentiels.

• L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I, vol. 256, Springer, coll. « Grundl. Math. Wissenschaft. », 1983, 391 p. (ISBN 3-540-12104-8, DOI 10.1007/978-3-642-96750-4, MR 0717035).
• R.O. Wells, Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, 1973 (ISBN 0-387-90419-0).