Spirale sinusoïdale

Une spirale sinusoïdale peut se définir par son équation polaire :

${\displaystyle r^{n}=2a^{n}\cos(n\theta )}$

où a est un réel positif et n un réel.

La courbe est bornée et formée d'un motif de base symétrique défini entièrement pour ${\textstyle |\theta |\leq {\frac {\pi }{2n}}}$, fermé si n est positif, à asymptotes si n est négatif. On reconstruit la spirale entière par rotations successives du motif pour les angles ${\textstyle {\frac {2k\pi }{n}}}$, avec k entier.

La spirale sinusoïdale est une courbe algébrique si et seulement si n est un nombre rationnel.

Si n est un entier positif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone.

Si n est un entier négatif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante.

La longueur de la courbe vaut :

${\displaystyle 2a{\sqrt[{n}]{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{{\frac {1}{n}}-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =a{\sqrt[{n}]{2}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2n}}\right)=a{\sqrt[{n}]{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2n}}\right)}},}$

où B désigne la fonction bêta. L'aire contenue par la courbe vaut :

${\displaystyle 4a^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \,\mathrm {d} \theta =2a^{2}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)=2a^{2}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}}.}$

La podaire de la spirale sinusoïdale de paramètre n par rapport à son centre est la spirale sinusoïdale de paramètre ⁿ⁄_n+1.

Pour certaines valeurs bien choisies de n, on reconnait des courbes planes usuelles :

• n=¹⁄₃ : sextique de Cayley
• n=¹⁄₂ : cardioïde
• n=1 : cercle
• n=2 : lemniscate de Bernoulli
• n=3 : courbe de Kiepert

• n=-¹⁄₃ : cubique de Tschirnhausen
• n=-¹⁄₂ : parabole
• n=-1 : droite
• n=-2 : hyperbole équilatère
• n=-3 : cubique de Kiepert

• Spirale sinusoïdale sur Mathcurve
• (en) Eric W. Weisstein, « Sinusoidal Spiral », sur MathWorld