Série de Hahn

La valuation ${\displaystyle v(f)}$ d'une série de Hahn non nulle ${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$ est définie comme le plus petit élément du support de ${\displaystyle f}$, autrement dit le plus petit ${\displaystyle e\in \Gamma }$ tel que ${\displaystyle c_{e}\neq 0}$ ; cela fait de ${\displaystyle K[[T^{\Gamma }]]}$ un corps valué où l'intersection de toute suite décroissante de boules est non vide (on dit que ${\displaystyle K[[T^{\Gamma }]]}$ est sphériquement complet (en)). Si ${\displaystyle K}$ est de caractéristique nulle, ${\displaystyle (K[[T^{\Gamma }]],v)}$ est (à isomorphisme près) la seule extension sphériquement complète de ${\displaystyle K}$ ayant ${\displaystyle \Gamma }$ pour groupe de valuation[2]. La valuation ${\displaystyle v}$ définit une topologie sur ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$, et si ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathbb {R} }$, v correspond à une valeur absolue ultramétrique ${\displaystyle |f|=\exp(-v(f))}$, pour laquelle ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ est un espace métrique complet. Cependant, contrairement aux séries de Puiseux, les sommes formelles ne convergent pas en général : dans le cas de la série ${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$, par exemple, les valeurs absolues des termes tendent vers 1 (puisque leurs valuations tendent vers 0), et donc la série diverge grossièrement (on dit parfois que ces séries sont « pseudo-convergentes »[3]).

Si K est algébriquement clos (mais pas nécessairement de caractéristique nulle) et si Γ est divisible, alors ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ est algébriquement clos[4]. Ainsi, la clôture algébrique de ${\displaystyle K((T))}$ est contenue dans ${\displaystyle {\overline {K}}[[T^{\mathbb {Q} }]]}$, où ${\displaystyle {\overline {K}}}$ est la clôture algébrique de ${\displaystyle K}$ ; lorsque ${\displaystyle K}$ est de caractéristique nulle, cette clôture algébrique s'identifie au corps K⟪T⟫ des séries de Puiseux et il est possible de décrire cette clôture algébrique en caractéristique non nulle comme un sous-ensemble de ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$[5].

Si K est un corps ordonné, ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ peut être totalement ordonné en posant T infiniment petit, c'est-à-dire positif et plus petit que tous les éléments positifs de K, ce qui revient à utiliser l'ordre lexicographique sur les coefficients des séries. Si K est réel clos et si Γ est divisible, ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ est également réel clos[6]. Ce résultat permet d'analyser le Corps[7] des nombres surréels, lequel est isomorphe, en tant que corps ordonné, au corps des séries de Hahn à coefficients réels et à groupe d'exposants les nombres surréels eux-mêmes, avec l'indéterminée identifiée à ${\displaystyle \omega }$[8].

On peut définir une notion de famille sommable dans ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ : si ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ est une famille de séries de Hahn (et donc ${\displaystyle f_{i}\in K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$), on dit que ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ est sommable si l'ensemble ${\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma }$ est bien ordonné, et si chaque ensemble ${\displaystyle \{i\in I\ |\ e\in \operatorname {supp} f_{i}\}}$ pour ${\displaystyle e\in \Gamma }$ est fini ; on peut alors définir la somme ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}}$ comme la série de Hahn ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}:=\sum \limits _{e\in \Gamma }(\sum \limits _{i\in I}f_{i}(e))T^{e}}$.

Si ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (g_{i})_{i\in I}}$ sont sommables, il en est de même des familles ${\displaystyle (f_{i}+g_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (f_{i}g_{j})_{(i,j)\in I\times I}}$, et l'on a[9] ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}+g_{i}=\sum \limits _{i\in I}f_{i}+\sum \limits _{i\in I}g_{i}}$ et${\displaystyle \sum \limits _{(i,j)\in I\times I}f_{i}g_{j}=(\sum \limits _{i\in I}f_{i})(\sum \limits _{i\in I}g_{i})}$.

Cette notion de sommabilité ne correspond pas à la convergence pour la topologie de la valuation sur ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$. Par exemple, dans ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[\left[T^{\mathbb {Q} }\right]\right]}$, la famille${\displaystyle (T^{\frac {n}{n+1}}+T^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$ est sommable, mais la suite ${\displaystyle (\sum \limits _{k\leq n}T^{\frac {k}{k+1}}+T^{k+1})_{n\in \mathbb {N} }}$ ne converge pas.

Soit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ l'anneau des fonctions à valeurs réelles analytiques dans un voisinage de ${\displaystyle a}$.

Si ${\displaystyle K}$ est une extension de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, on peut évaluer tout élément ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ en chaque série de ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ de la forme ${\displaystyle a+\varepsilon }$, avec la valuation de ${\displaystyle \varepsilon }$ strictement positive, car la famille ${\displaystyle ({\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est toujours sommable[10], ce qui permet de poser ${\displaystyle f(a+\varepsilon ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}}$. Cela définit un morphisme d'anneaux ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}\longrightarrow K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$.