Régression elliptique

Régression quadratique par la méthode de la distance algébrique.

La méthode de la régression quadratique consiste à faire une régression linéaire multiple (à l'instar de la régression polynomiale). En effet, on peut transformer l'équation en

${\displaystyle x^{2}=A_{2}xy+A_{3}y^{2}+A_{4}x+A_{5}y+A_{6}}$

en choisissant arbitrairement A₁ = –1[1]. On peut alors poser :

${\displaystyle Y=x^{2},\quad X_{2}=xy\quad X_{3}=y^{2}\quad X_{4}=x\quad X_{5}=y}$

on a donc bien un modèle multilinéaire

${\displaystyle Y=A_{2}X_{2}+A_{3}X_{3}+A_{4}X_{4}+A_{5}X_{5}+A_{6}.}$

Le résultat de cette régression pour un nuage de points[2] est donné sur la figure ci-contre.

Présenté comme ceci, la méthode consiste à minimiser

${\displaystyle \mathrm {S} _{\mathrm {quad} }=\sum _{i}(x_{i}^{2}-(A_{2}x_{i}y_{i}+A_{3}y_{i}^{2}+A_{4}x_{i}+A_{5}y_{i}+A_{6}))^{2}}$.

On peut remarquer que l'on pourrait extraire un autre facteur, en posant Y = y², xy, x ou bien y, et qu'il n'y a pas de raison d'avoir le même résultat à chaque fois.

Le deuxième problème est que la forme quadratique définit de manière générale une conique ; le meilleur candidat peut donc être une hyperbole ou une parabole. Il faut donc ajouter une contrainte propre aux ellipses, à savoir que le discriminant de la forme quadratique associée soit strictement négatif :

${\displaystyle \Delta =A_{2}^{2}-4A_{1}A_{3}<0.}$

Les coefficients A_i sont définis à un facteur multiplicatif près. On peut donc exprimer cette condition par

${\displaystyle \Delta =-1\ \Longleftrightarrow \ 4A_{1}A_{3}-A_{2}^{2}=1.}$

L'ajout de cette contrainte complique la résolution. Plusieurs solutions ont été développées pour éviter de passer par une étape itérative, source potentielle d'instabilité numérique.

Gander et coll.[2] proposent d'effectuer une décomposition en valeurs singulières de D :

${\displaystyle D=USV}$

où U est une matrice unitaire n × n, V une matrice unitaire 6 × 6 et S est une matrice n × 6 qui contient les valeurs singulières de D. On a alors

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}V_{16}\\V_{26}\\\vdots \\V_{66}\end{pmatrix}}}$

Les coefficients sont définis à une constante multiplicatrice près. Cette méthode consiste donc, d'une manière ou d'une autre, à appliquer la contrainte

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|=1.}$

Le principal inconvénient de cette méthode est que la contrainte n'est pas invariante par les transformations euclidiennes, et en particulier par les isométries : translation, rotation, symétrie. Ainsi, le demi-grand axe et le demi-petit axe de l'ellipse peuvent être différents si l'on tourne le nuage de points.

Bookstein[3] a proposé à la place d'utiliser la contrainte

${\displaystyle A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+1_{3}^{2}=1}$

ce qui revient à imposer une contrainte sur l'équation réduite, qui est elle indépendante des isométries :

équation cartésienne réduite :${\displaystyle \lambda _{1}{\overline {x}}^{2}+\lambda _{2}{\overline {y}}^{2}+{\overline {c}}^{2}=0}$

contrainte de Bookstein : ${\displaystyle \lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}=1.}$

Bookstein propose de résoudre ce problème par décomposition spectrale (recherche des valeurs et vecteurs propres), mais Gander et coll. proposent plutôt de résoudre le problème par décomposition en valeurs singulières. Pour cela, on définit la matrice de données modifiée

${\displaystyle D'={\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}&1&x_{1}^{2}&{\sqrt {2}}x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}&y_{n}&1&x_{n}^{2}&{\sqrt {2}}x_{n}y_{n}&y_{n}^{2}\\\end{pmatrix}}}$

et les vecteurs de paramètres

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} _{4}\\\mathrm {A} _{5}\\\mathrm {A} _{6}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {w} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} _{1}\\\mathrm {A} _{2}/{\sqrt {2}}\\\mathrm {A} _{3}\end{pmatrix}}}$

et l'on doit donc minimiser

${\displaystyle D'{\begin{pmatrix}\mathbf {v} \\\mathbf {w} \end{pmatrix}}}$

avec la contrainte ∥w∥ = 1. Pour cela, on fait la factorisation QR de D', puis on scinde la matrice R (matrice triangulaire supérieure) pour avoir un bloc R₂₂ de dimensions 3 × 3, et donc deux blocs R₁₁ et R₁₂ de dimension 3 × (n – 3) :

${\displaystyle \mathrm {R} ={\begin{pmatrix}\mathrm {R} _{11}&\mathrm {R} _{12}\\0&\mathrm {R} _{22}\end{pmatrix}}}$

Le problème se ramène alors à chercher le minimum de R₂₂w. On effectue pour cela la décomposition en valeurs singulières de R₂₂.

Régression elliptique par la méthode de Fitzgibbon.

Fitzgibbon et coll.[4] a proposé de minimiser la somme des carrés des distances algébriques, et d'utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour intégrer la contrainte. En effet, il s'agit bien de minimiser une fonction φ(A₁, …, A₆) définie par

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \$ :\ &\mathbb {R} ^{6}\rightarrow \mathbb {R} \\&(\mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{6})\mapsto \sum _{i=1}^{n}\mathrm {F} (x_{i},y_{i})^{2}\end{aligned}}}

les points (x_i, y_i)_{1 ≤ i ≤ n} étant connus, avec une contrainte ψ(A₁, …, A₆) = 0, la fonction ψ étant définie par

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi \$ :\ &\mathbb {R} ^{6}\rightarrow \mathbb {R} \\&(\mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{6})\mapsto \Delta +1\end{aligned}}}

les fonctions φ et ψ étant de classe C^∞ (polynômes), donc a fortiori de classe C¹.

On note pour la suite a le vecteur de R⁶

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} _{1}\\\vdots \\\mathrm {A} _{6}\end{pmatrix}}}$

et les matrices représentatives des applications linéaires de R⁶ dans R⁶ :

• matrice de conception (design matrix) ${\displaystyle \mathbf {D} ={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}^{2}&x_{n}y_{n}&y_{n}^{2}&x_{n}&y_{n}&1\\\end{pmatrix}}}$
• matrice de contrainte ${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}0&0&2&0&0&0\\0&-1&0&\vdots &\vdots &\vdots \\2&0&0&\vdots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\ddots &\vdots &0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\end{pmatrix}}}$

et l'on a donc

${\displaystyle \varphi (\mathbf {a} )=\left\|\mathrm {Da} \right\|^{2}={}^{\mathrm {t} }(\mathrm {Da} )(\mathrm {Da} )}$

${\displaystyle \psi (\mathbf {a} )={}^{\mathrm {t} }\mathrm {aDa} }$

où ^tM désigne la transposée de la matrice M. On peut donc poser la fonction L :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} \$ :\ &\mathbb {R} ^{6}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&(\mathbf {a} ,\lambda )\mapsto \varphi (\mathbf {a} )+\lambda \cdot \psi (\mathbf {a} )\end{aligned}}}

Si a₀ est une solution recherchée (φ est minimale en a₀ et a₀ satisfait la condition de contrainte), alors il existe une valeur λ₀ non nulle telle que la différentielle dL soit nulle en (a₀, λ₀) : ∂L/∂A_i = 0 pour tout i, et ∂L/∂λ = 0. En calculant les dérivées partielles, on arrive au système d'équations

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}2{}^{\mathrm {t} }\mathbf {D} \mathbf {D} \mathbf {a} -2\lambda \mathbf {C} \mathbf {a} &\ =0\\{}^{\mathrm {t} }\mathbf {a} \mathbf {C} \mathbf {a} &\ =1\end{aligned}}\right.}$

En posant la matrice de dispersion ('scatter matrix) S =^tDD on a

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathbf {S} \mathbf {a} &\ =\lambda \mathbf {C} \mathbf {a} &[1]\\{}^{\mathrm {t} }\mathbf {a} \mathbf {C} \mathbf {a} &\ =1&[2]\end{aligned}}\right.}$

Les matrices S et C sont des matrices carrées 6×6.

Notons que l'équation [2] peut s'écrire

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\mathbf {Ca} i=\lambda _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {Sa} i}$

comme S est en général définie positive, cela revient à dire que λ_i doit être positive.

Il reste donc à résoudre l'équation [1] ; cela peut se faire de plusieurs manières.

Par construction, la matrice S a de grandes chances d'être définie positive, donc inversible. L'équation [1] peut donc s'écrire

${\displaystyle \mathbf {a} =\lambda \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {Ca} \ \Longleftrightarrow \ \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {Ca} ={\frac {1}{\lambda }}\mathbf {a} }$

si λ est non nulle. Ainsi, a est un vecteur propre de S^-1Ca, associé à la valeur propre 1/λ.

On peut aussi remarquer que l'équation [1] est un problème aux valeurs propres généralisé, c'est-à-dire à une recherche du sous-espace caractéristique (notion généralisée des valeurs propres et vecteurs propres).

On obtient donc six solutions (λ_i, a_i) à l'équation [1], mais rien ne garantit qu'elles vérifient l'équation [2]. Cependant, si a_i est un vecteur propre, alors μ_ia_i est aussi un vecteur propre pour tout μ_i non nul, il faut donc trouver une valeur de μ_i telle que

${\displaystyle {}^{\mathrm {t} }(\mu _{i}\mathbf {a} _{i})\mathbf {C} (\mu _{i}\mathbf {a} _{i})=\mu _{i}^{2}{}^{\mathrm {t} }\mathbf {a} _{i}\mathbf {C} \mathbf {a} _{i}=1}$

La valeur de μ_i est réelle si ^ta_iCa_i est positif, donc si (1/λ_i)^ta_iSa_i. S étant définie positive, ^ta_iSa_i est strictement positive, donc

μ_i est réelle si λ_i est positive.

Donc, une condition nécessaire pour qu'un vecteur de coefficients a_i corresponde à la meilleure ellipse est que ce soit un vecteur propre associé à une valeur propre positive. Fitzgibbon et coll. démontrent qu'il n'y a qu'une seule valeur propre positive, donc que la solution est unique.

Halíř et coll.[5] on proposé des améliorations :

• la matrice C est singulière, et S est presque singulière (elle l'est si tous les points sont exactement sur l'ellipse), la détermination des valeurs propres est donc numériquement instable et peut générer des résultats infinis ou complexes ;
• si tous les points sont exactement sur l'ellipse, la valeur propre est 0 ; donc la valeur propre recherchée est proche de 0, et de fait, l'approximation numérique peut donner des résultats légèrement négatifs, solution qui serait alors rejetée par l'algorithme.

Pour résoudre ces problèmes, ils proposent de scinder les matrices (matrices par blocs) :

• ${\displaystyle \mathbf {D} =(\mathbf {D_{1}} |\mathbf {D_{2}} )}$ avec ${\displaystyle \mathbf {D_{1}} ={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}^{2}&x_{n}y_{n}&y_{n}^{2}\\\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle \mathbf {D_{2}} ={\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}&y_{n}&1\\\end{pmatrix}}}$ ;
• ${\displaystyle \mathbf {S} =\left({\begin{array}{c | c}\mathbf {S_{1}} &\mathbf {S_{2}} \\\hline ^{\mathrm {t} }\mathbf {S_{2}} &\mathbf {S_{3}} \end{array}}\right)}$ avec S₁ = ^tD₁D₁, S₂ = ^tD₁D₂ et S₃ = ^tD₂D₂ ;
• ${\displaystyle \mathbf {C} =\left({\begin{array}{c | c}\mathbf {C_{1}} &0\\\hline 0&0\end{array}}\right)}$ avec ${\displaystyle \mathbf {C_{1}} ={\begin{pmatrix}0&0&2\\0&-1&0\\2&0&0\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}} \\\hline \mathbf {a_{2}} \end{pmatrix}}}$ avec ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} _{1}\\\mathrm {A} _{2}\\\mathrm {A} _{3}\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle \mathbf {a_{2}} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} _{4}\\\mathrm {A} _{5}\\\mathrm {A} _{6}\end{pmatrix}}}$.

L'équation [1] devient alors le système

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathbf {S_{1}} \mathbf {a_{1}} +\mathbf {S_{2}} \mathbf {a_{2}} &=\lambda \mathbf {C_{1}} \mathbf {a_{1}} &[3]\\^{\mathrm {t} }\mathbf {S_{2}} \mathbf {a_{1}} +\mathbf {S_{3}} \mathbf {a_{2}} &=0&[4]\\\end{aligned}}\right.}$

La matrice S₃ correspond à une régression linéaire ; elle est singulière si les points sont strictement alignés, or cela n'a pas de sens de faire une régression elliptique sur des points alignés. On peut donc considérer que S₃ est régulière (inversible). La matrice C₁ est elle aussi régulière, le système d'équation devient donc

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathbf {M} \mathbf {a_{1}} &=\lambda \mathbf {a_{1}} &[5]\\-\mathbf {S_{3}} ^{-1}\,^{\mathrm {t} }\mathbf {S_{2}} \mathbf {a_{1}} &=\mathbf {a_{2}} &[6]\\\end{aligned}}\right.}$

avec M la matrice de dispersion réduite

M = C₁^-1(S₁ - S₂S₃^{-1 t}S₂).

L'équation [2] devient

^ta₁C₁a₁ = 1 [7]

On se retrouve donc à résoudre le système d'équations {[5] ; [6] ; [7]}, soit :

• [5] : déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de M ;
• trouver a₁ : retenir la valeur propre positive, ou mieux :
  [7] trouver l'unique vecteur tel que ^ta₁C₁a₁ > 0 ;
• [6] : calculer a₂ ;
• rassembler a₁ et a₂ pour former le vecteur a.

Une ellipse peut être considéré comme un cercle selon une « vue inclinée » : c'est la projection orthogonale d'un cercle sur un plan sécant au plan le contenant. C'est donc une figure qui est susceptible d'apparaître dans de nombreuses images.

Cela peut être utilisé pour des algorithmes de reconnaissance de forme, par exemple reconnaître l'ovale des visages sur une photographie, pour de l'imagerie médicale, des inspections industrielles, la conversion d'une image matricielle en image vectorielle, ou encore en archéologie — pour déterminer la taille d'une poterie à partir d'un fragment, le col de la poterie formant un arc de cercle qui, du fait de la perspective, est vu comme un arc d'ellipse[5].