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Problème aux valeurs propres généralisé

En algèbre linéaire, un problème aux valeurs propres généralisé est une extension du problème de recherche de vecteurs et valeurs propres d'une matrice.

Soient A et B deux matrices carrées de dimension n×n. Le problème aux valeurs propres généralisé consiste à trouver un vecteur v (de dimension n) vérifiant

où λ est un scalaire. Un tel vecteur v est appelé « vecteur propre généralisé de A et de B », et le scalaire λ associé est appelé « valeur propre généralisée de A et de B ».

Notons le produit scalaire canonique hermitien de :

où l'opération u* désigne la transconjuguée de u. Alors, le problème aux valeurs propres généralisées peut aussi s'écrire :

Notons que ce problème peut avoir des valeurs propres généralisées nulles ou bien infinies.

Exemples d'applications

La résolution de certains problèmes aboutit à un problème aux valeurs propres généralisé. Par exemple :

  • la régression elliptique : une ellipse peut se représenter par une équation matricielle, et la recherche de la « meilleure ellipse » passant par un nuage de points peut se faire en résolvant un problème aux valeurs propres généralisé (Fitzgibbon et coll[1].) ;
  • lorsque l'on cherche à résoudre l'équation de Schrödinger pour des molécules dans le cas de couches électroniques ouvertes (c'est-à-dire dont la couche de valence n'est pas complète), on aboutit aux équations de Roothaan, qui peuvent être écrites sous la forme d'un problème aux valeurs propres généralisé ; voir Méthode de Hartree-Fock restreinte pour couche ouverte ;
  • la résolution d'un système d'équations différentielles pouvant s'écrire sous forme matricielle[2] :

    où A et B sont à symétriques à coefficients réels, A est définie positive, f est une fonction continue de R dans Rn et α0 est un vecteur (condition initiale).
  • en mécanique, les problèmes de dynamique vibratoire conduisent à la résolution du problème aux valeurs propres généralisés suivant :
    avec :
    • respectivement les matrices de raideur et de masse issues d'une discrétisation par éléments finis
    • les pulsations propres de la structure discrétisée
    • u les modes de déformation associés

Propriétés

Le scalaire λ doit vérifier l'équation :

Notons que l'ensemble des matrices de la forme A - λB est un faisceau de matrices linéaire (linear matrix pencil).

Supposons que le problème ait n solutions, c'est-à-dire que l'on ait n couples de valeurs propres-vecteurs propres i, vi)1 ≤ in, c'est-à-dire n vecteurs (vi)1 ≤ in et n scalaires i)1 ≤ in vérifiant

notons les composantes

et définissons les matrices P et D :

;

On a alors :

Cas particuliers

Si B est inversible

Si la matrice B est régulière, alors on peut réécrire le problème sous la forme d'un problème aux valeurs propres « classique » :

B-1Av = λv

mais il est en général préférable de résoudre directement le problème initial. En particulier, si A et B sont hermitiennes, alors la matrice B-1A n'est en général elle-même pas hermitienne ; la reformulation masque alors des propriétés importantes de la solution.

Notons que puisque B et P sont régulières, alors BP l'est aussi.

Si A et B sont hermitiennes et que B est définie positive

Théorème Si A et B sont hermitiennes (et a fortiori si elles sont symétriques à coefficients réels), et que de plus B est définie positive, alors le problème aux valeurs propres généralisé admet n valeurs propres généralisées réelles (λi)1 ≤ in, associés à n vecteurs propres généralisés (vi)1 ≤ in formant une base B-orthogonale.

La matrice B étant définie positive, on peut définir le produit scalaire par :

le problème aux valeurs propres généralisé peut donc s'écrire :

Ce cas implique donc l'existence de n couples de valeurs propres-vecteurs propres (λi, vi)1 ≤ in, et :

  • les valeurs propres généralisées λi sont réelles ;
  • si deux vecteurs propres généralisés vi et vj (ij) ont des valeurs propres généralisées distinctes, alors
    vi et vj sont B-orthogonaux :
    , ce qui s'écrit également
    tvi désignant la matrice transposée et vi, soit encore
    tPBP = In,

Donc (vi)1 ≤ in est une base de vecteurs propres généralisés (ce n'est pas un problème défectif).

L'égalité

A = (BP)DP-1

est donc la décomposition spectrale généralisée de A, analogue à la décomposition spectrale d'une matrice hermitienne :

  • D est une matrice diagonale ;
  • (BP)-1 = tP (puisque tPBP = In), ce qui « joue le rôle » de la matrice unitaire.

Mise en œuvre

De nombreux logiciels de calcul numérique ont développé des fonctions de résolution de problèmes valeurs propres généralisés. Citons par exemple :

Scilab

[alpha, betaa, P] = eigs(A, B);

Cette fonction permet de traiter les cas dégénérés (valeurs propres nulles, s'il y a des zéros dans alpha, ou bien infinies, s'il y a des zéros dans beta). Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

À partir de la version 5.4, on peut utiliser pour les cas non dégénérés :

[D, P] = eigs(A, B);

Matlab Pour les cas dégénérés, on peut utiliser

[AA, BB, D, V, W] = qz(A, B);
alpha = diag(AA); betaa = diag(BB);

Les colonnes des matrices V et W contiennent les vecteurs propres généralisés.

Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

Et pour les cas non dégénérés :

[P, D] = eig(A, B);

Notes et références

  1. (en) Andrew W. Fitzgibbon, Maurizio Pilu et Robert B. Fisher, « Direct least squares fitting of ellipses », IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21, no 5, , p. 476-480 (lire en ligne)
  2. voir Leborgne (2008) p. 6

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • Gilles Leborgne, Diagonalisation : valeurs propres, valeurs propres généralisés (notes de cours), ISIMA, (lire en ligne [PDF])
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