Problème aux valeurs propres généralisé

La résolution de certains problèmes aboutit à un problème aux valeurs propres généralisé. Par exemple :

• la régression elliptique : une ellipse peut se représenter par une équation matricielle, et la recherche de la « meilleure ellipse » passant par un nuage de points peut se faire en résolvant un problème aux valeurs propres généralisé (Fitzgibbon et coll[1].) ;
• lorsque l'on cherche à résoudre l'équation de Schrödinger pour des molécules dans le cas de couches électroniques ouvertes (c'est-à-dire dont la couche de valence n'est pas complète), on aboutit aux équations de Roothaan, qui peuvent être écrites sous la forme d'un problème aux valeurs propres généralisé ; voir Méthode de Hartree-Fock restreinte pour couche ouverte ;
• la résolution d'un système d'équations différentielles pouvant s'écrire sous forme matricielle[2] :
  ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}(t)+\mathrm {B} {\boldsymbol {\alpha }}(t)\ &=\mathbf {f} (t)\\{\boldsymbol {\alpha }}(0)\ &={\boldsymbol {\alpha }}_{0}\end{aligned}}\right.}$
  où A et B sont à symétriques à coefficients réels, A est définie positive, f est une fonction continue de R dans Rⁿ et α₀ est un vecteur (condition initiale).
• en mécanique, les problèmes de dynamique vibratoire conduisent à la résolution du problème aux valeurs propres généralisés suivant :
  ${\displaystyle \mathbb {K} u=\omega ^{2}\mathbb {M} u}$ avec :
  • ${\displaystyle \mathbb {K} ,\mathbb {M} }$ respectivement les matrices de raideur et de masse issues d'une discrétisation par éléments finis
  • ${\displaystyle \omega }$ les pulsations propres de la structure discrétisée
  • u les modes de déformation associés

Le scalaire λ doit vérifier l'équation :

${\displaystyle \operatorname {det} (\mathrm {A} -\lambda \mathrm {B} )=0}$

Notons que l'ensemble des matrices de la forme A - λB est un faisceau de matrices linéaire (linear matrix pencil).

Supposons que le problème ait n solutions, c'est-à-dire que l'on ait n couples de valeurs propres-vecteurs propres (λ_i, v_i)_{1 ≤ i ≤ n}, c'est-à-dire n vecteurs (v_i)_{1 ≤ i ≤ n} et n scalaires (λ_i)_{1 ≤ i ≤ n} vérifiant

${\displaystyle \forall 1\leqslant i\leqslant n,\ \mathrm {A} \mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathrm {B} \mathbf {v} _{i}}$

notons les composantes

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}{\begin{pmatrix}v_{i1}\\\vdots \\v_{im}\end{pmatrix}}}$

et définissons les matrices P et D :

${\displaystyle \mathrm {P} =[\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}]={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{ij}=\left\{{\begin{aligned}\lambda _{i}&{\text{ si }}i=j\\0&{\text{ sinon}}\end{aligned}}\right.}$ ; ${\displaystyle \mathrm {D} ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$

On a alors :

${\displaystyle \mathrm {A} =(\mathrm {BP} )\mathrm {DP} ^{-1}}$

De nombreux logiciels de calcul numérique ont développé des fonctions de résolution de problèmes valeurs propres généralisés. Citons par exemple :

Scilab

[alpha, betaa, P] = eigs(A, B);

Cette fonction permet de traiter les cas dégénérés (valeurs propres nulles, s'il y a des zéros dans alpha, ou bien infinies, s'il y a des zéros dans beta). Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

À partir de la version 5.4, on peut utiliser pour les cas non dégénérés :

[D, P] = eigs(A, B);

Matlab Pour les cas dégénérés, on peut utiliser

[AA, BB, D, V, W] = qz(A, B);
alpha = diag(AA); betaa = diag(BB);

Les colonnes des matrices V et W contiennent les vecteurs propres généralisés.

Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

Et pour les cas non dégénérés :

[P, D] = eig(A, B);