Pression de Laplace

Dans le cas particulier d'une goutte sphérique, les deux rayons de courbure principaux, ${\displaystyle R_{1}}$ et ${\displaystyle R_{2}}$ sont égaux et identiques au rayon de la goutte. Cette loi peut alors s'écrire plus simplement :

${\displaystyle P_{2}-P_{1}=2{\frac {\gamma }{R}}}$

où :

• ${\displaystyle P_{1}}$ est la pression du côté extérieur (convexe) ;
• ${\displaystyle P_{2}}$ est la pression du côté intérieur (concave) ;
• ${\displaystyle R}$ est le rayon de la goutte.

La pression de Laplace est à l'origine de la sphéricité des bulles de savon : la pression est uniforme dans la bulle ce qui lui donne sa forme sphérique. Pour calculer la pression dans la bulle de savon, il faut prendre en compte le fait qu'il y a deux interfaces : une interface entre l'air à l'intérieur de la bulle et le liquide, puis une interface entre le liquide et l'air à l'extérieur à la bulle. On a donc pour chaque interface :

${\displaystyle P_{2}-P_{\rm {liq}}=2{\frac {\gamma }{R_{\rm {int}}}}\qquad \mathrm {et} \qquad P_{\rm {liq}}-P_{1}=2{\frac {\gamma }{R_{\rm {ext}}}}}$

${\displaystyle P_{\rm {liq}}}$ étant la pression dans le liquide, ${\displaystyle R_{\rm {int}}}$ et ${\displaystyle R_{\rm {ext}}}$ les rayons intérieurs et extérieurs du film sphérique de liquide. L'épaisseur de ce film liquide étant très faible par rapport au rayon de la bulle, on peut faire l'approximation que ${\displaystyle R_{\rm {int}}=R_{\rm {ext}}=R}$, on peut alors calculer la différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur :

${\displaystyle P_{2}-P_{1}=4{\frac {\gamma }{R}}}$

où ${\displaystyle P_{1}}$ est la pression atmosphérique à l'extérieur de la bulle et ${\displaystyle P_{2}}$ la pression dans la bulle.

On plonge l'extrémité d'un tube capillaire dans un liquide au repos (avec une surface plane). Si le liquide mouille le tube, il se forme un ménisque concave dans le tube et on observe la montée du liquide dans le tube. Ceci est lié au fait que le ménisque forme une surface courbée, la pression dans le liquide est inférieure à la pression atmosphérique, ce qui fait monter le liquide dans le tube.

Ce phénomène est décrit par la loi de Jurin :

${\displaystyle \rho gh=2{\frac {\gamma }{R}}}$

dans laquelle ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique du liquide, ${\displaystyle g}$ l'accélération de la pesanteur, ${\displaystyle h}$ la différence de hauteur entre la surface plane et le ménisque. En supposant que le ménisque forme une demi-sphère, on peut calculer sa courbure à partir de l'angle de contact ${\displaystyle \theta }$ entre le liquide et le tube, et le rayon de ce tube ${\displaystyle r}$ : ${\displaystyle R\,=\,r/\cos(\theta )}$.

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