Première quantification

En général, l'état à une particule pourrait être décrit par un ensemble complet de nombres quantiques désignés par ${\displaystyle \nu }$ . Par exemple, les trois nombres quantiques ${\displaystyle n,l,m}$ associé à un électron dans un potentiel de coulomb, comme l'atome d'hydrogène, forme un ensemble complet (en ignorant le spin). Par conséquent, l'état est appelé ${\displaystyle |\nu \rangle }$ et est un vecteur propre de l'opérateur hamiltonien. On peut obtenir une représentation de fonction d'état de l'état en utilisant ${\displaystyle \psi _{\nu }(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\nu \rangle }$ . Tous les vecteurs propres d'un opérateur hermitien forment une base complète, donc on peut construire n'importe quel état ${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |\psi \rangle }$ obtention de la relation d'exhaustivité:

${\displaystyle \sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |=\mathbf {I} }$

Toutes les propriétés de la particule pourraient être connues en utilisant cette base vectorielle.

Lorsqu'on se tourne vers des systèmes à N particules, c'est-à-dire des systèmes contenant N particules identiques, donc des particules caractérisées par les mêmes paramètres physiques tels que la masse, la charge et le spin, une extension de la fonction d'état d'une seule particule ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ à la fonction d'état à N particules ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}$ est nécessaire[2]. Une différence fondamentale entre la mécanique classique et quantique concerne le concept d'indiscernabilité de particules identiques. Seules deux espèces de particules sont ainsi possibles en physique quantique, les dits bosons et les fermions qui obéissent aux règles:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})}$ (bosons),

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})}$ (fermions).

Où nous avons échangé deux coordonnées ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$ de la fonction étatique. La fonction d'onde habituelle est obtenue en utilisant le déterminant de Slater et la théorie des particules identiques. En utilisant cette base, il est possible de résoudre divers problèmes à plusieurs particules.

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• Quantification géométrique
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