Puits de potentiel

Soit une courbe plane, située dans un plan vertical, en forme de cuvette. Un point matériel, de masse m, s'y meut, en glissant sans frottement. La conservation de l'énergie donne, en prenant l'abscisse curviligne s(t) comme inconnue, l'équation du mouvement de ce point:

${\displaystyle {\dot {s}}^{2}+2gh(s)=2E/m=2gH}$

qui s'appelle en mathématiques une équation différentielle de Leibniz. Par dérivation, on obtient une équation différentielle de Newton du second ordre :

${\displaystyle {\ddot {s}}+g{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} s}}=0}$.

De l'équation de Leibniz, on tire la vitesse ${\displaystyle v(s)={\dot {s}}=}$ ± ${\displaystyle {\sqrt {2g(H-h(s))}}}$

Ce qui ramène à l'étude d'un diagramme horaire. Par exemple le cas simple (dit de Torricelli) de ${\displaystyle h(s)=|s|}$ y est étudié.

Il arrive que l'on considère en physique une équation similaire : le mouvement d'un point matériel sur un axe x'Ox, sous l'action d'une force F(x) :

${\displaystyle {\ddot {x}}=F/m:=g(x)}$

(On appelle énergie potentielle V(x) est l'opposée de la primitive de F(x)). La conservation de l'énergie donne le même type d'équation de Leibniz. On dit alors que la particule est confinée dans un puits de potentiel, sur l'intervalle [a,b], a et b, racines contiguës de V(x)= E.

Soit l'origine O, au fond de la cuvette, sans restriction de généralité. Soit A le point d'abscisse s = a telle que h(A)= H.

Le mouvement se décrit qualitativement fort bien : la vitesse, maximale en O, ne cesse de décroître jusqu'à l'arrivée en A, au temps t1. Puis la particule rétrograde selon le même mouvement, et arrive en O, avec la vitesse opposée. Elle décrit alors l'autre bord de la cuvette, symétriquement, jusqu'au point symétrique A' et revient : le mouvement est périodique de période T = 4 t1. La méthode du diagramme horaire s'applique bien à ce cas qui peut donc s'expliquer et s'expérimenter sans de hautes mathématiques ; on peut ainsi tracer T(H).

Huygens trouve quelle doit être la forme de la courbe pour que les oscillations soient isochrones : il faut une cuvette qui se relève plus vite que le cercle osculateur en O, de rayon R ; il trouve que la cycloïde convient. Alors ${\displaystyle T(H)=cste=T_{o}=2\pi {\sqrt {R/g}}}$.

L'oscillation n'est pas en général harmonique. Il est usuel de poser :

${\displaystyle v^{2}(s)=2g(H-h(s)):=(s-a(H))^{2}N^{2}(s)}$, et s=a(H).\cos${\displaystyle \phi }$.

Ainsi :

${\displaystyle t=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} u}{N[a(H)\cos(u)]}}}$
${\displaystyle T(H)=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} u}{N[a(H)\cos(u)]}}}$ ,

la fonction N(s) (en hertz) étant généralement bornée : N1 < N < N2, alors T2 < T(H) < T1.

• Le cas du pendule cycloïdal, vu dans le paragraphe précédent, est le plus facile, car N(s)= cste = No, donc T(H)= cste= To.

• Le cas du pendule simple, beaucoup plus difficile à analyser, est assez banal (on dit générique) : si la cuvette présente un sommet arrondi concave, de hauteur ${\displaystyle H_{max}}$, alors usuellement T(H) tend vers l'infini logarithmiquement quand H tend vers ${\displaystyle H_{max}}$. Cet effet de ralentissement est appelé effet Ramsauer en physique nucléaire et a son correspondant en mécanique quantique. Il ressemble beaucoup à l'effet « soliton » :

soit la décomposition en série de Fourier de s(t) : ${\displaystyle s(t)=\sum _{n}b_{n}\cos \left[{\frac {2\pi nt}{T(H)}}\right]}$,

le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur ${\displaystyle \aleph _{0}(H)}$, puis s'écroule exponentiellement (donc très vite), dès que n > ${\displaystyle \aleph _{0}(H)}$ : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c’est-à-dire à la "régularité" de la cuvette (cf Appell, mécanique, 1915).

• Il faut préciser, néanmoins, qu'il ne faudrait pas croire que l'anharmonicité soit toujours due à ce mécanisme de ralentissement T(H) ; on connaît des cas de cuvettes (non-symétriques) où T(H) = cste = To, mais où l'anharmonicité devient très grande. Dans ce cas, la fonction périodique s(t) ressemble alors à de la houle très pointue. À titre d'exemple ${\displaystyle V(x)=x-{\sqrt {(}}x)}$, étudié en physique des plasmas.

• Enfin, il reste les cas où V(x) présente des singularités : le cas évident est celui d'une particule simplement bloquée entre deux murs réflecteurs : |x|<a

Alors on a évidemment la vitesse v(x) constante (au signe près), égale à ${\displaystyle {\sqrt {2E/m}}}$ et la période ${\displaystyle T(E)=2a{\sqrt {2E/m}}}$. L'analyse de Fourier de s(t), qui est une fonction "triangle", donne des coefficients qui décroissent comme 1/n^2 et non pas exponentiellement.

• D'autres types de puits de potentiel plus complexes existent (on pensera à ${\displaystyle \exp(-x^{2})x^{10}(x-a)^{2}\sin(a^{2}/(x-a)^{2})}$, où le nombre de racines de V'(x) augmente indéfiniment quand x tend vers a).

Ces problèmes à plusieurs "fenêtres de sortie" donneront du mal à être quantifiés en mécanique quantique : c'est le problème des barrières de potentiel double, voire triple en radio-activité.

• La cuvette soliton ${\displaystyle U(x)=-{\dfrac {g^{2}}{\cosh ^{2}(x)}}}$ : on trouve ${\displaystyle x(t)=\arg \operatorname {sh} \left[-{\dfrac {\sqrt {g^{2}+E}}{E}}\sin(\omega t)\right]}$ et la période ${\displaystyle T(E)=\pi {\sqrt {-{\dfrac {2}{E}}}}}$
• la cuvette soliton modifiée ${\displaystyle U(x)={\dfrac {g^{2}}{\sin ^{2}(x)}}}$ : on trouve ${\displaystyle x(t)=\arg \cos \left({\sqrt {1-{\dfrac {g^{2}}{E}}}}\cos(\omega t)\right)}$ et la période${\displaystyle T(E)=\pi {\sqrt {\dfrac {2}{E}}}}$
• la cuvette de Jacobi ${\displaystyle U(x)={\dfrac {g^{2}}{\sinh(x,k)}}}$ : on trouve la période ${\displaystyle T={\dfrac {4}{\sqrt {2(E-g^{2}k^{2})}}}K(k'')}$ avec ${\displaystyle k''=k^{2}{\dfrac {E-g^{2}}{E-g^{2}k^{2}}}}$, ${\displaystyle K(k)}$ étant la fonction elliptique de première espèce.
• la cuvette ${\displaystyle U(x)=g^{2}\cosh(2x)}$ : on trouve la période d'oscillation ${\displaystyle T={\dfrac {4}{\sqrt {E+g^{2}}}}K(k)}$ , avec ${\displaystyle k^{2}={\dfrac {E-g^{2}}{E+g^{2}}}}$

Remarque : par symétrie de Corinne, à ces cuvettes correspondent des barrières de potentiel, dont on peut évaluer en mécanique quantique l'effet tunnel ; c'est une des raisons de trouver un maximum d'exemples pour pouvoir interpréter nombre d'expériences.

Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz (mécanique, ed Mir) traitent ce problème difficile.

La notion mathématique qui s'applique bien ici est la notion de dérivée fractionnaire d'ordre 1/2, dite d'Abel. En fait c'est la fonction réciproque s(h) que l'on détermine {on a déjà vu dans le cas du pendule simple que h (et non s) est la bonne fonction inconnue, et alors on en déduit s(h(t))} : la formule est :

${\displaystyle s(h)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {g}}\int _{0}^{h}{\frac {T(H)\mathrm {d} H}{\sqrt {h-H}}}}$ ,

dont on vérifie immédiatement l'homogénéité s = sqrt(gHo)To. Voir ci-dessous la démonstration.

Il suffit de remarquer avec Newton que seule importe la section du puits de potentiel V(x) par la droite d'énergie E. On se ramène alors, "à la Cavalieri", à un puits de potentiel symétrique.

Sont de ce type :

• le potentiel (1-2)(dit de Newton radial) : ${\displaystyle {\dfrac {-g^{2}}{x}}+{\dfrac {h^{2}}{x^{2}}}}$;
• le potentiel harmonique : ${\displaystyle g^{2}x^{2}+{\dfrac {h^{2}}{x^{2}}}}$;
• le potentiel de Lenard-Jones(6-12) ;
• le potentiel interatomique dans une molécule diatomique, dit de Morse : ${\displaystyle U(x)=g^{2}(2e^{x}+e^{-2x}-3)}$
• le potentiel nucléaire : ${\displaystyle U(x)={\dfrac {g^{2}}{sh^{2}(x)}}-{\dfrac {h^{2}}{ch^{2}(x)}}}$
• Remarque : ${\displaystyle U(x)=-g^{2}x^{4}}$ amène la particule à l'infini en un temps fini ; c'est donc assez irréaliste d'avoir de telles forces répulsives.

Très souvent en physique, le puits de potentiel est légèrement perturbé par l'adjonction d'un paramètre que l'on peut contrôler (champ magnétique : effet Zeeman classique ; champ électrique : effet Stark classique, etc.). Il est alors intéressant de savoir quelle est la nouvelle période T(H).

La règle est la suivante :

• Soit le mouvement non perturbé s(t,H), de période T(H). Dans le plan de phase, l'orbite fermée, d'énergie H est décrite dans le sens rétrograde avec la période T(H) en enserrant une aire I(H) (en joule·seconde), appelée l'Action I(H). Un résultat classique de mécanique hamiltonienne est T(H) = dI/dH.
• Soit le nouveau potentiel V(x) + k·V₁(x), où k est un réel sans dimension très petit.
• Soit k·I₁(H) la petite action (en joule·seconde) = T(H)·[moyenne temporelle de k·V₁(x)].
• La variation de période T₁(H) est :

${\displaystyle T_{1}(H)=-k\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} H}}}$.

• Si on veut le deuxième ordre, en ${\displaystyle k^{2}}$, il faudra rajouter :

${\displaystyle +{\dfrac {1}{2!}}\cdot k^{2}\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}I_{2}(H)}{\mathrm {d} H^{2}}}}$ avec I₂ (en joule²·seconde) = T(H).[moyenne temporelle de V₁${\displaystyle ^{2}}$(x)] ; etc.

Application : la formule de Borda du pendule simple est retrouvée : En effet, les calculs montrent que ${\displaystyle T_{1}=T_{o}\cdot (1+{\frac {\theta _{o}^{2}}{16}})}$

On trouve aussi les formules du ressort mou ou du ressort dur. On pourra aussi tester les développements limités des formules exactes des puits de potentiel précédents.

• Analyse fractionnaire
• Diagramme horaire
• Pendule cycloïdal
• Pendule simple
• Puits de potentiel semi-classique
• Puits quantique

• MathWorks: 1D Schrodinger solver
• Github: 1D Schrodinger solver