Nombre harshad

Les multiples de 9 à deux chiffres jusqu'à 90 sont des nombres harshad puisque la somme de leurs chiffres est égale à 9, mais 99 n'en est pas un, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.

Aucun nombre premier p strictement supérieur à 10 n'est harshad. En effet, la somme de ses chiffres est strictement comprise entre 1 et p donc ne peut pas diviser p.

En base dix, les factorielles des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre harshad[2]. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.

Dans son article[1], Kaprekar semble admettre cette propriété comme évidente. Elle est en effet exacte, et démontrée par exemple dans[3] en utilisant le théorème d'Euler.

Voici quelques couples ${\displaystyle (n,h_{n})}$ où ${\displaystyle h_{n}}$ est le plus petit harshad ayant ${\displaystyle n}$ pour somme des chiffres :

${\displaystyle (10,190);(11,209=11\times 19);(12,48=12\times 4);(13,247=13\times 19);(14,266=14\times 19)}$

La suite ${\displaystyle (h_{n})}$ est la suite A002998 de l'OEIS.

Cooper et Kennedy ont démontré[4] - [5] qu'en base dix, il existe 20 entiers consécutifs (dépassant 10^{44 363 342 786}) qui sont tous des nombres harshad, mais qu'il n'en existe pas 21.

Si l'on note ${\displaystyle N(x)}$ le nombre de nombres harshad inférieurs ou égaux à ${\displaystyle x}$, alors[6]

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }N(x){\frac {\ln(x)}{x}}={\frac {14}{27}}\ln(10)\simeq 1{,}1939.}$

Cette constante est répertoriée comme suite A086705 de l'OEIS.

Par conséquent, ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {N(x)}{x}}=0}$ : les nombres harshad sont de densité asymptotique nulle.