Matrice d'une application linéaire

Soient :

• E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif[1] K, de dimensions respectives n et m ;
• B = (e₁, … , e_n) une base de E, C une base de F ;
• φ une application de E dans F.

Alors[2] :

• l'application φ est linéaire si et seulement s'il existe une matrice A de M_m,n(K) telle que
  pour tout vecteur x de E, la colonne des coordonnées dans C de φ(x) soit le produit à gauche par A de la colonne de coordonnées de x dans B ;
• une telle matrice A est alors unique : ses n colonnes sont les coordonnées dans C des n vecteurs φ(e₁), … , φ(e_n).

Cette matrice A est appelée la matrice de φ dans le couple de bases (B, C) et notée mat_{B, C}(φ), ou parfois M_C^B(φ).

Plus formellement, mat_{B, C}(φ) est caractérisée par :

${\displaystyle \forall x\in E\quad \operatorname {mat} _{C}(\varphi (x))=\operatorname {mat} _{B,C}(\varphi )\times \operatorname {mat} _{B}(x)}$.

Similitude vectorielle.

Dans le plan vectoriel euclidien ℝ², la similitude directe de rapport √2 et d'angle 45° (voir illustration)[3] est linéaire.

Sa matrice dans la base canonique (ou dans toute base orthonormée directe) est ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}}$.

Soit : ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

• La matrice mat_{B, C}(φ) fournit, colonne par colonne, les coordonnées dans C des n vecteurs φ(e₁), … , φ(e_n) de F, qui engendrent l'image de φ. Quant au noyau de φ, c'est le sous-espace vectoriel de E constitué des vecteurs dont les coordonnées dans B sont les solutions X du système linéaire homogène mat_{B, C}(φ) X = 0.
• L'application de L(E, F) dans M_m,n(K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
• Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Plus précisément[2] :${\displaystyle \operatorname {mat} _{B,D}(\psi \circ \varphi )=\operatorname {mat} _{C,D}(\psi )\times \operatorname {mat} _{B,C}(\varphi )}$.
• Pour toute matrice M de M_m,n(K), l'application X ↦ MX, du K-espace vectoriel M_{n, 1}(K) dans le K-espace vectoriel M_{m, 1}(K), est linéaire[4] et sa matrice dans les bases canoniques est M. En conséquence, il arrive souvent que l'on identifie la matrice M avec cette application linéaire. On parlera alors de noyau de la matrice, d'espaces propres de la matrice, d'image de la matrice, etc.

Matrice de passage