Mécanique des contacts

Contact entre une sphère et un demi-espace élastique

Une sphère élastique de rayon ${\displaystyle R}$ est enfoncée d'une profondeur ${\displaystyle d}$ dans un demi-espace élastique, ceci crée une zone de contact de rayon ${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$. La force nécessaire pour maintenir ce contact est égale à:

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{1/2}d^{3/2}}$,

où

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$.

${\displaystyle E_{1}}$ et ${\displaystyle E_{2}}$ ainsi que ${\displaystyle \nu _{1}}$ et ${\displaystyle \nu _{2}}$ sont respectivement les modules d'élasticité et les coefficients de Poisson des deux corps.

Voir l’article sur le contact de Hertz pour plus de précision.

Contact entre deux sphères

Si deux sphères de rayons ${\displaystyle R_{1}}$ et ${\displaystyle R_{2}}$ sont en contact, on peut obtenir un rayon équivalent ${\displaystyle R}$ par le calcul suivant

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$.

La distribution de la pression sur la zone de contact est donnée par

${\displaystyle p=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}}$

avec

${\displaystyle p_{0}={\frac {2}{\pi }}E^{*}\left({\frac {d}{R}}\right)^{1/2}}$.

La tension maximale intérieure de cisaillement se situe à ${\displaystyle z\approx 0,49a}$ pour ${\displaystyle \nu =0,33}$.

Voir l’article sur le contact de Hertz pour plus de précision.

Contact entre deux cylindres croisés de même rayon

Il est équivalent au contact entre une sphère de rayon ${\displaystyle R}$ et un plan (voir ci-dessus)

Contact entre un cylindre rigide et un demi-espace élastique

Un cylindre rigide de rayon ${\displaystyle a}$ est enfoncé dans un demi-espace élastique. On obtient la répartition de la pression avec

${\displaystyle p=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-1/2}}$

où

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{a}}}$.

La relation entre la profondeur de l'enfoncement et la force normale est

${\displaystyle F=2aE^{*}d{\frac {}{}}}$.

Contact entre un solide conique rigide et un demi-espace élastique

Lors du contact entre un cône rigide et un demi-espace élastique, la profondeur de l'enfoncement et le rayon de contact sont reliés par la relation suivante:

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}a\tan \theta }$

où

${\displaystyle \theta }$ est l'angle entre le plan et la face latérale du cône. La répartition de la pression est de la forme

${\displaystyle p(r)=-{\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}ln\left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)}$.

La contrainte à la pointe du cône (au centre de la zone de contact) a une singularité logarithmique. La force totale se calcule ainsi

${\displaystyle F_{N}={\frac {2}{\pi }}E{\frac {d^{2}}{\tan \theta }}}$.

Contact entre deux cylindres avec des axes parallèles

Lors d'un contact entre deux cylindres dont les axes sont parallèles, la force est linéairement proportionnelle à la profondeur de l'enfoncement :

${\displaystyle F={\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$.

Le rayon de courbure n'apparaît pas dans cette relation. La moitié de la largeur de contact devient avec la même relation :

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$,

avec

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

comme lors du contact entre deux sphères. La pression maximale est égale à

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{1/2}}$.

Lorsque deux corps avec surface rugueuse sont pressés l'un contre l'autre, la surface de contact réelle ${\displaystyle A}$ est beaucoup plus petite que la surface de contact apparente ${\displaystyle A_{0}}$. Lors d'un contact entre une surface "aléatoirement rugueuse" et un demi espace élastique la surface de contact réelle est proportionnelle à la force normale ${\displaystyle F}$ et est donnée par la relation suivante :

${\displaystyle A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F}$

où ${\displaystyle h'}$ est la moyenne quadratique de la pente de la surface et ${\displaystyle \kappa \approx 2}$.

La pression moyenne sur la surface de contact réel

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'}$

se calcule, avec une bonne approximation, comme la moitié du module d'élasticité effectif ${\displaystyle E^{*}}$ multipliée par la moyenne quadratique de la pente du profil de la surface ${\displaystyle h'}$. Cette pression est plus grande que la dureté ${\displaystyle \sigma _{0}}$ du matériau et par conséquent

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>2}$,

les micro-rugosités sont complètement à l'état plastique. Pour ${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$ la surface se comporte comme lors d'un contact élastique. La valeur ${\displaystyle \Psi }$ a été introduite par Greenwood et Williamson et fut nommé "indice de plasticité". Le fait que le système se comporte de manière élastique ou plastique ne dépend pas de la force normale appliquée.