Contact de Hertz

Le premier résultat important est que la surface de contact augmente avec l'enfoncement. Cela est dû essentiellement à la géométrie : le contact est initialement ponctuel, et il s'élargit au fur et à mesure de l'enfoncement. Lorsque la sphère s'enfonce, son intersection avec le plan initial est un disque dont le rayon a vérifie :

${\displaystyle a^{2}\simeq \mathrm {R} \delta }$,

où ${\displaystyle \delta }$ est l'enfoncement, et ${\displaystyle \mathrm {R} }$ le rayon de la sphère.

Le second résultat non trivial est que bien que la loi de comportement de la matière soit linéaire (loi de Hooke), la relation entre la force appliquée ${\displaystyle \mathrm {F} }$ et l'enfoncement ${\displaystyle \delta }$ ne l'est pas :

${\displaystyle \mathrm {F} \propto \delta ^{3/2}}$.

La raison essentielle en est justement que l'aire de la surface de contact ${\displaystyle \pi a^{2}}$ entre la sphère et le plan augmente au cours de l'enfoncement. Tout calcul fait (voir plus bas), le rayon de la zone de contact varie comme :

${\displaystyle a\propto \mathrm {F} ^{1/3}}$.

Lors d'un enfoncement de ${\displaystyle \delta }$ avec une aire de contact de rayon ${\displaystyle a}$ (avec ${\displaystyle a\ll \mathrm {R} }$) la déformation est de l'ordre de :

${\displaystyle \varepsilon =\delta /a}$.

La région dans laquelle la déformation du matériau est de l'ordre de δ/a a un volume de l'ordre de

${\displaystyle V\approx a^{3}}$.

L'énergie élastique par unité de volume pour une déformation ${\displaystyle \varepsilon }$ s'écrit

${\displaystyle w_{\mathrm {el} }={\frac {1}{2}}\mathrm {E} \varepsilon ^{2}\simeq \mathrm {E} \left({\frac {\delta }{a}}\right)^{2}}$.

où ${\displaystyle \mathrm {E} }$ est le module de Young du matériau.

L'énergie élastique totale s'obtient par intégration. Ici, son ordre de grandeur est donné par le produit de la densité maximale d'énergie élastique par le volume fortement déformé :

${\displaystyle \mathrm {W_{el}} \simeq w_{\mathrm {el} }\times \mathrm {V} \simeq \mathrm {E} \left({\frac {\delta }{a}}\right)^{2}a^{3}\simeq \mathrm {E} a\delta ^{2}}$.

En combinant avec la relation géométrique ${\displaystyle a^{2}\simeq \mathrm {R} \delta }$, on obtient :

${\displaystyle \mathrm {W_{el}} \simeq \mathrm {E} a\delta ^{2}=\mathrm {E} {\frac {a^{5}}{\mathrm {R} ^{2}}}=\mathrm {E} \mathrm {R} ^{1/2}\delta ^{5/2}}$.

Une force ponctuelle exercée à la surface du plan (supposé horizontal pour fixer les idées) donne lieu à une déflexion verticale très profonde (infinie, en principe) au point d'application de la force. Cette déflexion décroît à mesure que l'on s'écarte (distance horizontale ${\displaystyle r}$) du point d'application. Cette déflexion verticale ${\displaystyle u(r)}$ a été décrite par Joseph Boussinesq comme :

${\displaystyle u(r)={\frac {\mathrm {F} }{\pi \mathrm {E} ^{\star }r}}}$.

En réalité, la force totale F est répartie sur une certaine surface, sous la forme d'une pression ${\displaystyle p({\vec {\mathrm {X} }})}$ qui dépend de la position ${\displaystyle {\vec {\mathrm {X} }}}$ dans la surface de contact. Par conséquent, chaque élément de pression contribue à la déflexion ${\displaystyle u}$. Ainsi, en un point quelconque ${\displaystyle {\vec {x}}}$ du plan (pas nécessairement à l'intérieur du contact), la déflexion ${\displaystyle u({\vec {x}})}$ est la somme des contributions de tous les éléments de pression situés dans la surface de contact, via la relation de Boussinesq citée plus haut :

${\displaystyle u({\vec {x}})=\int \!\!\!\int {\frac {p({\vec {\mathrm {X} }})}{\pi \mathrm {E} ^{\star }r}}{\rm {d}}^{2}{\vec {\mathrm {X} }}}$,

où ${\displaystyle r=\|{\vec {x}}-{\vec {\mathrm {X} }}\|}$ est la distance entre le point d'application ${\displaystyle {\vec {\mathrm {X} }}}$ de l'élément de pression et le point ${\displaystyle {\vec {x}}}$ où l'on observe la déflexion.

Remarque

en termes mathématiques, l'intégration effectuée pour obtenir le profil de déflexion ${\displaystyle u({\vec {x}})}$ constitue ce qu'on appelle la convolution du profil de pression ${\displaystyle p({\vec {\mathrm {X} }})}$ et de la réponse de Boussinesq ${\displaystyle u(r)}$ à une force ponctuelle.

La réponse de Boussinesq étant connue, le travail de Hertz a consisté à découvrir le bon profil de pression pour obtenir un profil de déflexion ${\displaystyle u(r)}$ qui coïncide, dans la zone de contact, circulaire et de rayon ${\displaystyle a}$, avec le profil de la sphère de rayon ${\displaystyle R}$ enfoncée d'une distance ${\displaystyle \delta }$, c'est-à-dire :

${\displaystyle u(r)=\delta -{\frac {r^{2}}{2\mathrm {R} }}}$, pour ${\displaystyle r<a}$.

Puisque l'ensemble du système est symétrique autour de l'axe vertical passant par le centre de la sphère, le profil de pression est axisymétrique, et nous le notons donc désormais ${\displaystyle p(r)}$. Hertz a montré que ce profil de pression s'écrit :

${\displaystyle p(r)=p_{0}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}}}$,

avec

• ${\displaystyle a={\sqrt {R\delta }}}$ et
• ${\displaystyle p_{0}={\frac {2\mathrm {E} ^{\star }\delta }{\pi a}}={\frac {2a\mathrm {E} ^{\star }}{\pi \mathrm {R} }}={\frac {2\mathrm {E} ^{\star }}{\pi }}\,{\sqrt {\frac {\delta }{\mathrm {R} }}}}$.

Remarque

Le profil de déflexion en dehors de la zone de contact se raccorde au plan horizontal non déformé ${\displaystyle u=0}$ lorsque la distance au centre ${\displaystyle r}$, tend vers l'infini :

${\displaystyle u(r)={\frac {1}{\pi \mathrm {R} }}\left[(2a^{2}-r^{2})\arcsin \left({\frac {a}{r}}\right)+a{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}\right]}$, pour ${\displaystyle r>a}$.

La force ainsi exercée n'est autre que l'intégrale du profil de pression :

${\displaystyle \mathrm {F} =\int p(r)2\pi r{\rm {d}}r={\frac {4\mathrm {E} ^{\star }a\delta }{3}}={\frac {4\mathrm {E} ^{\star }a^{3}}{3\mathrm {R} }}={\frac {4\mathrm {E} ^{\star }\mathrm {R} ^{1/2}\delta ^{3/2}}{3}}}$.

Soient deux sphères repérées 1 et 2, de rayons respectifs ${\displaystyle r_{1}}$ et ${\displaystyle r_{2}}$, et de matériaux dont les modules de Young respectifs sont ${\displaystyle E_{1}}$ et ${\displaystyle E_{2}}$ et les coefficients de Poisson ${\displaystyle \nu _{1}}$ et ${\displaystyle \nu _{2}}$.

La zone de contact est un disque de rayon a :

${\displaystyle a=\left({\frac {3\mathrm {F} }{4}}{\frac {{\frac {1}{\mathrm {E} _{1}^{\star }}}+{\frac {1}{\mathrm {E} _{2}^{\star }}}}{{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}}}\right)^{1/3}}$

où ${\displaystyle E_{i}^{*}}$ est le module de Young renormalisé par le coefficient de Poisson ${\displaystyle \nu _{i}}$ :

${\displaystyle \mathrm {E} _{i}^{\star }={\frac {\mathrm {E} _{i}}{1-\nu _{i}^{2}}}}$.

L'écrasement ${\displaystyle \delta }$ des sphères vaut :

${\displaystyle \delta =\left({9/16}\right)^{1/3}\left(\mathrm {F} ^{2}\left({\frac {1}{\mathrm {E} _{1}^{\star }}}+{\frac {1}{\mathrm {E} _{2}^{\star }}}\right)^{2}\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right)^{1/3}}$.

La pression maximale est au centre de la zone et vaut

${\displaystyle p_{\max }={\frac {3\mathrm {F} }{2\pi a^{2}}}}$.

Appelons ${\displaystyle z}$ l'axe normal au plan de contact, dont l'origine est entre les sphères. Le long de cet axes, les contraintes principales varient avec la profondeur et valent :

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {X} i}=\sigma _{\mathrm {Y} i}=-p_{\max }\left(\left(1-{\frac {z}{a}}\arctan \left({\frac {1}{z/a}}\right)\right)(1+\nu _{i})-{\frac {1}{2\left(1+(z/a)^{2}\right)}}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Z} }={\frac {-p_{\max }}{1+(z/a)^{2}}}}$, identique pour les deux sphères.

La contrainte de cisaillement maximal vaut

${\displaystyle \tau _{\mathrm {ZX} }=\tau _{\mathrm {YZ} }={\frac {\sigma _{\mathrm {X} }-\sigma _{\mathrm {Z} }}{2}}={\frac {\sigma _{\mathrm {Y} }-\sigma _{\mathrm {Z} }}{2}}}$.

Sa valeur maximale vaut à peu près

${\displaystyle \tau _{\max }\simeq {\frac {p_{\max }}{2}}}$

et se situe sous la surface, pour une cote

${\displaystyle z\approx 0,5a}$.

C'est dans cette zone que débute en général la fatigue.

Remarque

Pour un contact sphère/plan, il suffit de prendre ${\displaystyle r_{2}=+\infty }$, soit ${\displaystyle 1/r_{2}=0}$. Pour un contact sphère dans une calotte concave, il suffit de prendre ${\displaystyle r_{2}<0}$.

On utilise des notations similaires au cas précédent.

Soient deux cylindres repérées 1 et 2, de même longueur ${\displaystyle L}$, de diamètres respectifs ${\displaystyle d_{1}}$ et ${\displaystyle d_{2}}$, et de matériaux dont les modules de Young respectifs sont ${\displaystyle E_{1}}$ et ${\displaystyle E_{2}}$ et les coefficients de Poisson ${\displaystyle \nu _{1}}$ et ${\displaystyle \nu _{2}}$. La normale du contact est l'axe ${\displaystyle z}$ et les axes des cylindres sont parallèles à l'axe ${\displaystyle y}$.

La zone de contact est un rectangle de longueur ${\displaystyle L}$ et de largeur ${\displaystyle 2b}$ :

${\displaystyle b=\left({\frac {2\mathrm {F} }{\pi \mathrm {L} }}{\frac {{\frac {1}{\mathrm {E} _{1}^{\star }}}+{\frac {1}{\mathrm {E} _{2}^{\star }}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}\right)^{1/2}}$.

La pression maximale est sur la ligne parallèle aux axes des cylindres et située au milieu de la zone et vaut

${\displaystyle p_{\max }={\frac {2\mathrm {F} }{\pi b\mathrm {L} }}}$.

Les contraintes principales le long d'une normale passant par cette ligne valent :

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {X} }=-p_{\max }\left(\left(2-{\frac {1}{1+(z/b)^{2}}}\right){\sqrt {1+(z/b)^{2}}}-2z/b\right)}$, identique pour les deux cylindres

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Y} i}=-2\nu _{i}p_{\max }\left({\sqrt {1+(z/b)^{2}}}-z/b\right)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Z} }={\frac {-p_{\max }}{\sqrt {1+(z/b)^{2}}}}}$, identique pour les deux cylindres.

La contrainte de cisaillement maximal est τ_ZX, sa valeur maximale vaut à peu près

${\displaystyle \tau _{max}\approx 0,3\times p_{max}}$

et se situe sous la surface, pour une cote

${\displaystyle z\approx 0,78b}$.

Remarque

Pour un contact cylindre/plan, il suffit de prendre ${\displaystyle d_{2}=+\infty }$. Pour un contact cylindre dans un cylindre creux (par exemple palier lisse), il suffit de prendre ${\displaystyle d_{2}<0}$.

• Hertz Calculator, un logiciel gratuit qui calcule la théorie de Hertz.

• même situation, mais avec en outre l'énergie d'adhésion : Théorie JKR (1971)
• Cône hertzien formé par contact de Hertz au-delà d'une intensité critique.
• Tribologie - Contacts localisés
• Roulement mécanique
• Résistance au roulement
• Pression diamétrale