K-topologie

En mathématiques, la K-topologie[1], ou topologie de Smirnov de la suite supprimée[2], est une topologie particulière sur l'ensemble ℝ des réels, plus fine que la topologie usuelle et pour laquelle l'ensemble K des inverses des entiers naturels non nuls est fermé (alors que pour la topologie usuelle, 0, qui n'appartient pas à K, est un point d'accumulation[3] de K). D'autres propriétés remarquables de cet espace en font un contre-exemple utile en topologie générale[2].

Définition

Soit K = {1/n | n ∈ ℕ*}. La famille de tous les intervalles réels ouverts ]a, b[ et de tous les ensembles de la forme ]a, b[\K forme une base de topologie. La topologie engendrée par cette famille est appelée la K-topologie sur ℝ et cet espace topologique est noté ici[1] ℝ_K.

Cette topologie est plus fine que la topologie usuelle sur ℝ (donc est séparée et même d'Urysohn comme elle) mais n'est pas comparable à la topologie de la droite de Sorgenfrey.
Elle est à base dénombrable (donc séparable, à bases dénombrables de voisinages et de Lindelöf).
L'espace ℝ_K est connexe, mais pas connexe par arcs car il a deux composantes connexes par arcs : $]-\infty, 0]$ et $]0, +\infty[$ .
Il n'est donc pas localement connexe par arcs.
Il n'est d'ailleurs même pas localement connexe en 0 (mais l'est en tout autre point).
La partie K est infinie et sans point d'accumulation donc ℝ_K n'est pas dénombrablement compact (donc pas non plus séquentiellement compact, puisqu'il est à base dénombrable).
De même, aucun sous-espace contenant K (comme le segment [0, 1]) n'est dénombrablement compact.
L'espace quotient ℝ_K/K n'est pas séparé.
ℝ_K n'est pas régulier (le fermé K et le point 0 ne sont pas séparés (en) par deux ouverts disjoints) mais c'est un espace G_δ.
Il n'est pas paracompact (puisqu'il n'est pas normal) mais seulement métacompact (en).

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « K-topology » (voir la liste des auteurs).

(en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, 2^e éd. (1^re éd. 1975), 537 p. (ISBN 978-0-13-181629-9, lire en ligne), p. 82 : « The topology generated by ℬ" will be called the K-topology on ℝ. When ℝ is given this topology, we denote it by ℝ_K. »
(en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), Counterexample 64 : « Smirnov’s Deleted Sequence topology »
C'est en fait le seul.

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