Identités liées aux sommes de diviseurs
Cet article liste les identités nouvelles, intéressantes et utiles liées aux sommes de diviseurs apparaissant en théorie des nombres , c'est-à-dire les sommes d'une fonction arithmétique indexées par les diviseurs d'un nombre naturel
n
{\displaystyle n}
convolution de Dirichlet d'une fonction arithmétique
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
g
(
n
)
:=
∑
d
∣
n
f
(
d
)
.
{\displaystyle g(n):=\sum _{d\mid n}f(d).}
Ces identités incluent des applications à des sommes d'une fonction arithmétique indexées seulement sur les diviseurs premiers propres de
n
{\displaystyle n}
périodiques de ces sommes de diviseur par rapport au plus grand commun diviseur sous la forme
g
m
(
n
)
:=
∑
d
∣
(
m
,
n
)
f
(
d
)
,
1
≤
m
≤
n
{\displaystyle g_{m}(n):=\sum _{d\mid (m,n)}f(d),\ 1\leq m\leq n}
Des relations d'inversion bien connues qui permettent d'exprimer la fonction
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
g
(
n
)
{\displaystyle g(n)}
formule d'inversion de Möbius . Naturellement, certains des exemples les plus intéressants de telles identités résultent de l'étude de fonctions sommatoires d'ordre moyen d'une fonction arithmétique
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
g
(
n
)
{\displaystyle g(n)}
fonctions arithmétiques spéciales et des convolutions de Dirichlet spéciales de fonctions arithmétiques, peuvent être trouvées sur les pages dédiées à la fonction arithmétique , la convolution de Dirichlet , l'indicatrice d'Euler et la somme de Ramanujan .
Identités liées à des sommes d'ordre moyen
Identités d'échange (d'ordre) de sommation Les identités suivantes sont la principale motivation pour créer cette page de sujets. Ces identités ne semblent pas bien être connues, ou du moins bien documentées, et sont des outils extrêmement utiles à avoir sous la main dans certaines applications. Dans ce qui suit, on suppose
f
,
g
,
h
,
u
,
v
:
N
→
C
{\displaystyle f,g,h,u,v:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }
fonctions arithmétiques données et que
G
(
x
)
:=
∑
n
≤
x
g
(
n
)
{\displaystyle G(x):=\sum _{n\leq x}g(n)}
g
(
n
)
{\displaystyle g(n)}
ordre moyen d'une fonction arithémtique "[1]
∑
n
=
1
x
v
(
n
)
∑
d
∣
n
h
(
d
)
u
(
n
d
)
=
∑
n
=
1
x
h
(
n
)
∑
k
=
1
⌊
x
n
⌋
u
(
k
)
v
(
n
k
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}v(n)\sum _{d\mid n}h(d)u\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{n=1}^{x}h(n)\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor }u(k)v(nk)}
∑
n
=
1
x
f
(
n
)
∑
d
∣
n
g
(
n
d
)
=
∑
n
=
1
x
f
(
n
)
G
(
⌊
x
n
⌋
)
=
∑
i
=
1
x
(
∑
⌈
x
+
1
i
+
1
⌉
≤
n
≤
⌊
x
−
1
i
⌋
f
(
n
)
)
G
(
i
)
+
∑
d
∣
x
G
(
d
)
f
(
x
d
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{x}f(n)\sum _{d\mid n}g\left({\frac {n}{d}}\right)&=\sum _{n=1}^{x}f(n)G\left(\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \right)=\sum _{i=1}^{x}\left(\sum _{\left\lceil {\frac {x+1}{i+1}}\right\rceil \leq n\leq \left\lfloor {\frac {x-1}{i}}\right\rfloor }f(n)\right)G(i)+\sum _{d\mid x}G(d)f\left({\frac {x}{d}}\right)\end{aligned}}}
∑
d
=
1
x
f
(
d
)
(
∑
r
∣
(
d
,
x
)
g
(
r
)
h
(
d
r
)
)
=
∑
r
∣
x
g
(
r
)
(
∑
1
≤
d
≤
x
/
r
h
(
d
)
f
(
r
d
)
)
{\displaystyle \sum _{d=1}^{x}f(d)\left(\sum _{r\mid (d,x)}g(r)h\left({\frac {d}{r}}\right)\right)=\sum _{r\mid x}g(r)\left(\sum _{1\leq d\leq x/r}h(d)f(rd)\right)}
∑
m
=
1
x
(
∑
d
∣
(
m
,
x
)
f
(
d
)
g
(
x
d
)
)
=
∑
d
∣
x
f
(
d
)
g
(
x
d
)
⋅
x
d
{\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\cdot {\frac {x}{d}}}
∑
m
=
1
x
(
∑
d
∣
(
m
,
x
)
f
(
d
)
g
(
x
d
)
)
t
m
=
(
t
x
−
1
)
⋅
∑
d
∣
x
t
d
f
(
d
)
t
d
−
1
g
(
x
d
)
{\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)t^{m}=(t^{x}-1)\cdot \sum _{d\mid x}{\frac {t^{d}f(d)}{t^{d}-1}}g\left({\frac {x}{d}}\right)}
Ces identités ne sont pas difficiles à prouver et constituent un exercice de manipulation standard d'inversion série-somme de diviseurs. Par conséquent, nous omettons leurs preuves ici.
La méthode de convolution La méthode de convolution est une technique générale d'estimation des sommes d'ordre moyen de la forme
∑
n
≤
x
f
(
n
)
ou
∑
q
sans carré
q
≤
x
f
(
q
)
,
{\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\qquad {\text{ ou }}\qquad \sum _{\stackrel {q\leq x}{q{\text{ sans carré}}}}f(q),}
où la fonction multiplicative f peut être écrite comme un produit de convolution sous la forme
f
(
n
)
=
(
u
∗
v
)
(
n
)
{\displaystyle f(n)=(u\ast v)(n)}
fonctions arithmétiques u et v bien choisies[2]
Sommes périodiques de diviseurs Une fonction arithmétique est périodique modulo k , ou k -périodique, si
f
(
n
+
k
)
=
f
(
n
)
{\displaystyle f(n+k)=f(n)}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
k -périodiques sont les caractères de Dirichlet
f
(
n
)
=
χ
(
n
)
{\displaystyle f(n)=\chi (n)}
k et la fonction plus grand commun diviseur
f
(
n
)
=
(
n
,
k
)
{\displaystyle f(n)=(n,k)}
k- périodique possède une représentation en série de Fourier (discrète finie ) de la forme
f
(
n
)
=
∑
m
=
1
k
a
k
(
m
)
e
(
m
n
k
)
,
{\displaystyle f(n)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right),}
où les coefficients de Fourier
a
k
(
m
)
{\displaystyle a_{k}(m)}
k -périodiques :
a
k
(
m
)
=
1
k
∑
n
=
1
k
f
(
n
)
e
(
−
m
n
k
)
.
{\displaystyle a_{k}(m)={\frac {1}{k}}\sum _{n=1}^{k}f(n)e\left(-{\frac {mn}{k}}\right).}
On s'intéresse aux "fonctions diviseurs" k -périodiques suivantes :
s
k
(
n
)
:=
∑
d
∣
(
n
,
k
)
f
(
d
)
g
(
k
d
)
=
∑
m
=
1
k
a
k
(
m
)
e
(
m
n
k
)
.
{\displaystyle s_{k}(n):=\sum _{d\mid (n,k)}f(d)g\left({\frac {k}{d}}\right)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right).}
On sait que les coefficients de Fourier de ces sommes de diviseurs sont données par la formule [3]
a
k
(
m
)
=
∑
d
∣
(
m
,
k
)
g
(
d
)
f
(
k
d
)
d
k
.
{\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}.}
On peut également exprimer les coefficients de Fourier, dans l'équation immédiatement ci-dessus, en termes de transformée de Fourier de toute fonction h prenant ses valeurs sur l'ensemble des
pgcd
(
n
,
k
)
{\displaystyle \operatorname {pgcd} (n,k)}
c
q
(
n
)
{\displaystyle c_{q}(n)}
somme de Ramanujan (cf. Transformée de Fourier de la fonction indicatrice d'Euler )[4]
F
h
(
m
,
n
)
=
∑
k
=
1
n
h
(
(
k
,
n
)
)
e
(
−
k
m
n
)
=
(
h
∗
c
∙
(
m
)
)
(
n
)
.
{\displaystyle F_{h}(m,n)=\sum _{k=1}^{n}h((k,n))e\left(-{\frac {km}{n}}\right)=(h\ast c_{\bullet }(m))(n).}
Ainsi, en combinant les résultats ci-dessus, nous obtenons que
a
k
(
m
)
=
∑
d
∣
(
m
,
k
)
g
(
d
)
f
(
k
d
)
d
k
=
∑
d
∣
k
∑
r
∣
d
f
(
r
)
g
(
d
)
c
d
r
(
m
)
.
{\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}=\sum _{d\mid k}\sum _{r\mid d}f(r)g(d)c_{\frac {d}{r}}(m).}
Somme sur les diviseurs premiers Soit
a
(
n
)
{\displaystyle a(n)}
fonction caractéristique des nombres premiers , c'est-à-dire
a
(
n
)
=
1
{\displaystyle a(n)=1}
si et seulement si
n
{\displaystyle n}
∑
n
=
1
x
∑
p
∣
n
p
premier
f
(
p
)
=
∑
p
=
1
x
a
(
p
)
f
(
p
)
⌊
x
p
⌋
=
∑
p
=
1
p
premier
x
f
(
p
)
⌊
x
p
⌋
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\sum _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}f(p)=\sum _{p=1}^{x}a(p)f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor =\sum _{p=1 \atop p{\text{ premier}}}^{x}f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor .}
Il existe également une formule intégrale basée sur la formule sommatoire d'Abel pour les sommes de la forme [5]
∑
p
=
1
p
premier
x
f
(
p
)
=
π
(
x
)
f
(
x
)
−
∫
2
x
π
(
t
)
f
′
(
t
)
d
t
≈
x
f
(
x
)
ln
x
−
∫
2
x
t
ln
t
f
′
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle \sum _{p=1 \atop p{\text{ premier}}}^{x}f(p)=\pi (x)f(x)-\int _{2}^{x}\pi (t)f^{\prime }(t)\mathrm {d} t\approx {\frac {xf(x)}{\ln x}}-\int _{2}^{x}{\frac {t}{\ln t}}f^{\prime }(t)\mathrm {d} t,}
où
π
(
x
)
∼
x
ln
x
{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}
fonction de compte des nombres premiers . En général, on suppose ici l'hypothèse que la fonction f est continue et dérivable .
Autres identités de somme de diviseurs Nous avons les formules de somme des diviseurs suivantes pour f toute fonction arithmétique et g complètement multiplicative où
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
la fonction indicatrice d'Euler et
μ
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
fonction de Möbius [6] [7]
∑
d
∣
n
f
(
d
)
φ
(
n
d
)
=
∑
k
=
1
n
f
(
gcd
(
n
,
k
)
)
{\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)\varphi \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))}
∑
d
∣
n
μ
(
d
)
f
(
d
)
=
∏
p
∣
n
p
premier
(
1
−
f
(
p
)
)
{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}(1-f(p))}
f
(
m
)
f
(
n
)
=
∑
d
∣
(
m
,
n
)
g
(
d
)
f
(
m
n
d
2
)
.
{\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}g(d)f\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).}
Si f est complètement multiplicative , la multiplication ponctuelle
⋅
{\displaystyle \cdot }
convolution de Dirichlet donne
f
⋅
(
g
∗
h
)
=
(
f
⋅
g
)
∗
(
f
⋅
h
)
{\displaystyle f\cdot (g\ast h)=(f\cdot g)\ast (f\cdot h)}
∑
d
k
∣
n
μ
(
d
)
=
{
0
,
si
m
k
∣
n
pour
m
>
1
;
1
,
sinon
{\displaystyle \sum _{d^{k}\mid n}\mu (d)={\begin{cases}0,&{\text{ si }}m^{k}\mid n{\text{ pour }}m>1;\\1,&{\text{sinon}}\end{cases}}}
Si
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
n a plus de m facteurs premiers distincts (en)
∑
d
∣
n
μ
(
d
)
log
m
(
d
)
=
0.
{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)\log ^{m}(d)=0.}
Inverse d'une fonction arithmétique pour le produit de Dirichlet On adopte la notation
ε
(
n
)
=
δ
n
,
1
{\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}
convolution de Dirichlet de sorte que
(
ε
∗
f
)
(
n
)
=
(
f
∗
ε
)
(
n
)
=
f
(
n
)
{\displaystyle (\varepsilon \ast f)(n)=(f\ast \varepsilon )(n)=f(n)}
fonction arithmétique f et
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
' inverse d'une fonction arithmétique f (pour le produit de Dirichlet) satisfait
(
f
∗
f
−
1
)
(
n
)
=
(
f
−
1
∗
f
)
(
n
)
=
ε
(
n
)
{\displaystyle (f\ast f^{-1})(n)=(f^{-1}\ast f)(n)=\varepsilon (n)}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
f
−
1
(
n
)
{\displaystyle f^{-1}(n)}
f donnée sous la forme[8]
f
−
1
(
n
)
=
{
1
f
(
1
)
,
si
n
=
1
;
−
1
f
(
1
)
∑
d
∣
n
d
>
1
f
(
d
)
f
−
1
(
n
d
)
,
si
n
>
1.
{\displaystyle f^{-1}(n)={\begin{cases}{\frac {1}{f(1)}},&{\text{ si }}n=1;\\[3pt]-{\frac {1}{f(1)}}\sum \limits _{d\mid n \atop d>1}f(d)f^{-1}\left({\frac {n}{d}}\right),&{\text{ si }}n>1.\end{cases}}}
Pour une fonction fixée f , considérons la fonction
f
±
(
n
)
:=
(
−
1
)
δ
n
,
1
f
(
n
)
=
{
−
f
(
1
)
,
si
n
=
1
;
f
(
n
)
,
si
n
>
1
{\displaystyle f_{\pm }(n):=(-1)^{\delta _{n,1}}f(n)={\begin{cases}-f(1),&{\text{ si }}n=1;\\f(n),&{\text{ si }}n>1\end{cases}}}
Ensuite, on définit deux produits de convolution multiples (ou imbriquées) suivants pour toute fonction arithmétique fixée f :
ds
~
j
,
f
(
n
)
:=
(
f
±
∗
f
∗
⋯
∗
f
)
⏟
j
times
(
n
)
ds
j
,
f
(
n
)
:=
{
f
±
(
n
)
,
si
j
=
1
;
∑
d
∣
n
d
>
1
f
(
d
)
ds
j
−
1
,
f
(
n
/
d
)
,
si
j
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{j,f}(n)&:=\underbrace {\left(f_{\pm }\ast f\ast \cdots \ast f\right)} _{j{\text{ times}}}(n)\\\operatorname {ds} _{j,f}(n)&:={\begin{cases}f_{\pm }(n),&{\text{ si }}j=1;\\[3pt]\sum \limits _{d\mid n \atop d>1}f(d)\operatorname {ds} _{j-1,f}(n/d),&{\text{ si }}j>1.\end{cases}}\end{aligned}}}
La fonction
D
f
(
n
)
{\displaystyle D_{f}(n)}
inverse d'une fonction arbitraire f [9]
D
f
(
n
)
:=
∑
j
=
1
n
ds
2
j
,
f
(
n
)
=
∑
m
=
1
⌊
n
2
⌋
∑
i
=
0
2
m
−
1
(
2
m
−
1
i
)
(
−
1
)
i
+
1
ds
~
i
+
1
,
f
(
n
)
{\displaystyle D_{f}(n):=\sum _{j=1}^{n}\operatorname {ds} _{2j,f}(n)=\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\sum _{i=0}^{2m-1}{\binom {2m-1}{i}}(-1)^{i+1}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{i+1,f}(n)}
En particulier, on peut prouver que [10]
f
−
1
(
n
)
=
(
D
+
ε
f
(
1
)
)
(
n
)
.
{\displaystyle f^{-1}(n)=\left(D+{\frac {\varepsilon }{f(1)}}\right)(n).}
Un tableau des valeurs de
D
f
(
n
)
{\displaystyle D_{f}(n)}
2
≤
n
≤
16
{\displaystyle 2\leq n\leq 16}
k -convolutions multiples possibles de la fonction f avec elle-même.
n
D
f
(
n
)
{\displaystyle D_{f}(n)}
n
D
f
(
n
)
{\displaystyle D_{f}(n)}
n
D
f
(
n
)
{\displaystyle D_{f}(n)}
2
−
f
(
2
)
f
(
1
)
2
{\displaystyle -{\frac {f(2)}{f(1)^{2}}}}
7
−
f
(
7
)
f
(
1
)
2
{\displaystyle -{\frac {f(7)}{f(1)^{2}}}}
12
2
f
(
3
)
f
(
4
)
+
2
f
(
2
)
f
(
6
)
−
f
(
1
)
f
(
12
)
f
(
1
)
3
−
3
f
(
2
)
2
f
(
3
)
f
(
1
)
4
{\displaystyle {\frac {2f(3)f(4)+2f(2)f(6)-f(1)f(12)}{f(1)^{3}}}-{\frac {3f(2)^{2}f(3)}{f(1)^{4}}}}
3
−
f
(
3
)
f
(
1
)
2
{\displaystyle -{\frac {f(3)}{f(1)^{2}}}}
8
2
f
(
2
)
f
(
4
)
−
f
(
1
)
f
(
8
)
f
(
1
)
3
−
f
(
2
)
3
f
(
1
)
4
{\displaystyle {\frac {2f(2)f(4)-f(1)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\frac {f(2)^{3}}{f(1)^{4}}}}
13
−
f
(
13
)
f
(
1
)
2
{\displaystyle -{\frac {f(13)}{f(1)^{2}}}}
4
f
(
2
)
2
−
f
(
1
)
f
(
4
)
f
(
1
)
3
{\displaystyle {\frac {f(2)^{2}-f(1)f(4)}{f(1)^{3}}}}
9
f
(
3
)
2
−
f
(
1
)
f
(
9
)
f
(
1
)
3
{\displaystyle {\frac {f(3)^{2}-f(1)f(9)}{f(1)^{3}}}}
14
2
f
(
2
)
f
(
7
)
−
f
(
1
)
f
(
14
)
f
(
1
)
3
{\displaystyle {\frac {2f(2)f(7)-f(1)f(14)}{f(1)^{3}}}}
5
−
f
(
5
)
f
(
1
)
2
{\displaystyle -{\frac {f(5)}{f(1)^{2}}}}
10
2
f
(
2
)
f
(
5
)
−
f
(
1
)
f
(
10
)
f
(
1
)
3
{\displaystyle {\frac {2f(2)f(5)-f(1)f(10)}{f(1)^{3}}}}
15
2
f
(
3
)
f
(
5
)
−
f
(
1
)
f
(
15
)
f
(
1
)
3
{\displaystyle {\frac {2f(3)f(5)-f(1)f(15)}{f(1)^{3}}}}
6
2
f
(
2
)
f
(
3
)
−
f
(
1
)
f
(
6
)
f
(
1
)
3
{\displaystyle {\frac {2f(2)f(3)-f(1)f(6)}{f(1)^{3}}}}
11
−
f
(
11
)
f
(
1
)
2
{\displaystyle -{\frac {f(11)}{f(1)^{2}}}}
16
f
(
2
)
4
f
(
1
)
5
−
3
f
(
4
)
f
(
2
)
2
f
(
1
)
4
+
f
(
4
)
2
+
2
f
(
2
)
f
(
8
)
f
(
1
)
3
−
f
(
16
)
f
(
1
)
2
{\displaystyle {\frac {f(2)^{4}}{f(1)^{5}}}-{\frac {3f(4)f(2)^{2}}{f(1)^{4}}}+{\frac {f(4)^{2}+2f(2)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\frac {f(16)}{f(1)^{2}}}}
Soit
p
k
(
n
)
:=
p
(
n
−
k
)
{\displaystyle p_{k}(n):=p(n-k)}
p est la fonction de partition (en) inverse donnée en fonction des fonctions ci-dessus et des coefficients du q-symbole de Pochhammer pour
n
>
1
{\displaystyle n>1}
[9]
f
−
1
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
[
(
p
k
∗
μ
)
(
n
)
+
(
p
k
∗
D
f
∗
μ
)
(
n
)
]
×
[
q
k
−
1
]
(
q
;
q
)
∞
1
−
q
.
{\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\left[(p_{k}\ast \mu )(n)+(p_{k}\ast D_{f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty }}{1-q}}.}
Notes et références Voir aussi Section 3.10 dans Apostol. (en) Ernie Croot, « The Convolution Method of Evaluating Sums of Multiplicative Functions » 26 mai 2004 (en) « Periodic Number-Theoretic Functions » NIST Handbook of Mathematical Functions 2010 (ISBN 978-0521192255 ) Schramm, « The Fourier transform of functions of the greatest common divisors », Integers , vol. 8, 2008 See Section 2.2 in (en) Auteur inconnu, « Mertens' Proof of Mertens' Theorem », . Dans Apostol: Exercice 2.29, Théorème 2.18, et Exercices 2.31-2.32 La première identité est une série de Dirichlet bien connue de la forme
∑
n
≥
1
1
n
s
∑
k
=
1
n
f
(
pgcd
(
n
,
k
)
)
=
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
∑
n
≥
1
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {pgcd} (n,k))={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
Gould et Shonhiwa, « A catalogue of interesting Dirichlet series », Miss. J. Math. Sci. , vol. 20, no 1, 2008 (lire en ligne [ archive du 2 octobre 2011 ] Voir la Section 2.7 de l'ouvrage d'Apostol pour une preuve. (en) Mircea Merca et Maxie D. Schmidt, « Factorization Theorems for Generalized Lambert Series and Applications », 2017 . This identity is proved in an unpublished manuscript by M. D. Schmidt which will appear on ArXiv in 2018.
Voir aussi
Bibliographie
Articles connexes
Cet article est issu de
wikipedia . Text licence:
CC BY-SA 4.0 , Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.
![{\displaystyle f^{-1}(n)={\begin{cases}{\frac {1}{f(1)}},&{\text{ si }}n=1;\\[3pt]-{\frac {1}{f(1)}}\sum \limits _{d\mid n \atop d>1}f(d)f^{-1}\left({\frac {n}{d}}\right),&{\text{ si }}n>1.\end{cases}}}](https://img.franco.wiki/i/88ec663aeadfb94a3551975620da0d71d884b3da.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{j,f}(n)&:=\underbrace {\left(f_{\pm }\ast f\ast \cdots \ast f\right)} _{j{\text{ times}}}(n)\\\operatorname {ds} _{j,f}(n)&:={\begin{cases}f_{\pm }(n),&{\text{ si }}j=1;\\[3pt]\sum \limits _{d\mid n \atop d>1}f(d)\operatorname {ds} _{j-1,f}(n/d),&{\text{ si }}j>1.\end{cases}}\end{aligned}}}](https://img.franco.wiki/i/df54f4b554da4c70351f011f5ac5f1e003d46a5c.svg)
![{\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\left[(p_{k}\ast \mu )(n)+(p_{k}\ast D_{f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty }}{1-q}}.}](https://img.franco.wiki/i/d2dbc555dcc3cab82c5f673c063354281ea11b10.svg)
