Série de Bell

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell d'indice p de f :

${\displaystyle f_{p}(X)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})X^{n}.}$

• Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si (et seulement si), pour tout entier premier p, on a : ${\displaystyle f_{p}(X)=g_{p}(X)}$.
• Pour deux fonctions arithmétiques f et g,${\displaystyle f_{p}(X)g_{p}(X)=h_{p}(X),}$où h est le produit de convolution de Dirichlet de f et de g.
• Si f est complètement multiplicative, alors :${\displaystyle f_{p}(X)={\frac {1}{1-f(p)X}}.}$

Voici quelques fonctions arithmétiques usuelles et leurs séries de Bell :

• le neutre δ₁ pour la convolution de Dirichlet, i.e. la fonction caractéristique du singleton {1} : (δ₁)_p(X) = 1,
• la fonction puissance k-ième I_k (qui est complètement multiplicative) : ${\displaystyle (I_{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-p^{k}X}},}$
• la fonction de Möbius μ : μ_p(X) = 1 – X,
• la fonction de Liouville λ : λ_p(X) = 1/(1 + X),
• la fonction φ d'Euler : ${\displaystyle \varphi _{p}(X)={\frac {1-X}{1-pX}},}$
• la Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs σ_k : ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)X+p^{k}X^{2}}}.}$