Fonction de Liouville
La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par[1]
oĂč Ω (n) dĂ©signe le nombre de facteurs premiers comptĂ©s avec multiplicitĂ© de l'entier n > 0 :
Par exemple 12 = 2ÂČ Ă 3, d'oĂč Ω (12) = 3).
Propriétés
- La fonction λ est complÚtement multiplicative car la fonction Ω est complÚtement additive. Par conséquent λ(1) = 1.
- Elle satisfait l'identitĂ© suivante, oĂč â» dĂ©signe la convolution de Dirichlet, 1 la fonction constante 1 et ÏC la fonction indicatrice de l'ensemble C des carrĂ©s parfaits :
En effet, ces deux fonctions de n sont multiplicatives et coĂŻncident clairement sur les puissances de nombres premiers. - La fonction de Liouville est l'inverse, pour â», de la valeur absolue de la fonction de Möbius ÎŒ.
Cette propriĂ©tĂ© se dĂ©duit de la prĂ©cĂ©dente en remarquant que ÏC â» |ÎŒ| = 1. - La sĂ©rie de Dirichlet de λ est reliĂ©e Ă la fonction zĂȘta de Riemann par la formule :
- La série de Lambert de λ est :
oĂč est une fonction thĂȘta de Jacobi.
Conjectures
Conjecture de PĂłlya
On note . PĂłlya avait conjecturĂ© en 1919[2] que ,ce qui fut rĂ©futĂ© en 1958 par Colin Brian Haselgrove[3]. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n[4] - [2] : L (906 150 257) = 1. On a mĂȘme L(n) > 0,061867 ân pour une infinitĂ© d'entiers n[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini[2], et pour cause : l'hypothĂšse de Riemann et la simplicitĂ© de tous les zĂ©ros de la fonction zĂȘta de Riemann en rĂ©sulteraient[4].
Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pål Turån) : si l'on définit , alors il semblait plausible que M(n) ℠0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove[3] - [4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraßné, comme l'avait montré Pål Turån, la véracité de l'hypothÚse de Riemann.
Conjecture de Chowla
Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour nombres entiers strictement positifs tous distincts et nombres entiers strictement positifs avec pour , on a :
- quand ,
oĂč dĂ©signe le symbole de Landau.
La conjecture est vraie pour puisque équivalente au théorÚme des nombres premiers ; elle est ouverte pour .
En 2015, Kaisa MatomĂ€ki, Maksym Radziwill et Terence Tao ont rĂ©alisĂ© des progrĂšs, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture[5]. En 2016, Terence Tao a dĂ©montrĂ© une version logarithmique de la conjecture dans le cas [6]. Une conjecture similaire se formule de la mĂȘme façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.
Notes et références
- Suite
âA008836 de l'OEIS.
- (en) Eric W. Weisstein, « Pólya Conjecture », sur MathWorld.
- (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of PĂłlya », Mathematika, vol. 5,â , p. 141-145 (DOI 10.1112/S0025579300001480).
- (en) Peter Borwein, Ron Ferguson et Michael J. Mossinghoff, « Sign Changes in Sums of the Liouville Function », Math. Comp., vol. 77, no 263,â , p. 1681-1694 (lire en ligne).
- (en) K. MatomĂ€ki, M. Radziwill et Terence Tao, « An averaged form of ChowlaÂŽs conjecture », Algebra & Number Theory, vol. 9,â , p. 2167-2196 (arXiv 1503.05121)
- (en) T. Tao, « The logarithmically averaged Chowla and Elliott Conjectures for two-point correlations », Forum of Mathematics, Pi, vol. 4,â (DOI 10.1017/fmp.2016.6), 36 pages.