Formule de Steiner-Minkowski

Une des difficultés de la première formule de Steiner-Minkowski, sous sa forme générale, est le sens à donner au mot mesure de la frontière. Comme le montre l'article longueur d'un arc, il existe différentes manières de définir cette mesure.

En dimension 2, si la frontière est le support d'un arc paramétré (I, f) injectif presque partout et de classe C¹, une première définition de la mesure m_f de cette frontière est la suivante :

${\displaystyle m_{f}=\int _{I}\|f'(t)\|\mathrm {d} t}$

Cette définition se généralise bien, en dimension finie quelconque, si la frontière est l'ensemble d'arrivée d'un homéomorphisme φ de classe C¹ de la sphère S_n-1. La mesure de la frontière s'exprime comme l'intégrale sur la sphère de la valeur absolue déterminant jacobien de la fonction φ :

${\displaystyle m_{f}=\int _{{\mathcal {S}}_{n-1}}|\det D\varphi _{\sigma }|\mathrm {d} \sigma }$

Dans le cas d'un convexe compact d'un espace dimension 2, la frontière est toujours le support d'un arc paramétrée injectif presque partout. En revanche, cet arc n'est pas nécessairement de classe C¹. Ceci n'est guère gênant, la définition de Jordan donne un sens à la longueur de l'arc, correspondant à une mesure 1 dimensionnel dans un espace de dimension 2. Dans le cas d'une dimension quelconque, la définition de Jordan ne se généralise pas (cf l'article Longueur d'un arc). Une autre définition prend le relai, celle du contenu n-1 dimensionnel de Minkowski.

• Le contenu p-dimensionnel de Minkowski d'un ensemble K d'un espace euclidien de dimension n, si p est un entier plus petit que n est la limite C_p,K, si elle existe, définie par[1] :

${\displaystyle C_{p,K}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon {\mathcal {B}})}{\mu (\epsilon {\mathcal {B}}_{n-p})}}}$

Ici, μ désigne la mesure de Lebesgue, B la boule unité et B_n-p la boule unité d'un espace de dimension n - p.

Cette définition est bien cohérente avec les deux précédentes :

• Soit C un convexe compact de E, un espace vectoriel de dimension n. Si la frontière F de C est l'ensemble d'arrivée d'un homéomorphisme φ de classe C¹ de la sphère S_n-1, le contenu n-1-dimensionnel de Minkowski C_n-1,F de F vérifie l'égalité :

${\displaystyle C_{n-1,F}=\int _{{\mathcal {S}}_{n-1}}|\det D\varphi _{\sigma }|\mathrm {d} \sigma }$

• Soit C un convexe compact de E, un espace vectoriel de dimension 2. Si la frontière F de C est le support de l'ensemble d'arrivée d'un lacet simple, le contenu 1-dimensionnel de Minkowski de C_1,F de F est égal à la longueur du lacet simple au sens de Jordan.

Un lacet ([a, b], f) est un arc paramétré sur un segment [a, b] tel que l'image de a soit égal à l'image de b par f. Le lacet est dit simple si la restriction de f à [a, b] est injective.

Pour un polygone convexe, les formules de Steiner-Minkowski sont presque évidentes.

Dans ce paragraphe, K désigne un compact non vide de E, un espace euclidien de dimension 2 et μ la mesure de Lebesgue de E. En dimension 2, les preuves sont plus aisées. La première formule de Steiner-Minkowski s'énonce ainsi :

• Si K est convexe ou si sa frontière est le support d'un lacet simple de Jordan, la mesure de K + ε.B s'exprime comme un polynôme de degré 2 en ε. Ici ε désigne un nombre réel positif suffisamment petit :

${\displaystyle \exists \eta ,\;\forall \epsilon \in [0,\eta [\quad \mu (K+\epsilon \cdot {\mathcal {B}})=\mu (K)+p\cdot \epsilon +q\cdot \epsilon ^{2}\quad {\text{avec}}\quad p,q\in \mathbb {R} }$

Dans le cas où K désigne un convexe, la valeur positive ε peut être choisie quelconque. La deuxième formule de Minkowski donne une expression du périmètre de K :

• Si K est convexe ou si sa frontière est le support d'un lacet simple de Jordan, la frontière de K est le support d'un arc rectifiable au sens de Jordan et si ${\displaystyle \scriptstyle L(\partial K)}$ désigne la longueur de la frontière de K :

${\displaystyle L(\partial K)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon \cdot {\mathcal {B}})-\mu (K)}{\epsilon }}}$

La deuxième formule de Minkowski indique que le coefficient p de la première formule est égal au périmètre de K. Dans le cas d'un convexe, le coefficient q est égal à π. Si la frontière est un lacet simple, on trouve une démonstration au paragraphe Formalisme de l'article Longueur d'un arc.

Cas des convexes[2]

C désigne un compact convexe dans cette démonstration. Dans un premier temps, on établit l'égalité de Steiner-Minkowski uniquement pour les polygones convexes.

• Si P est un polygone d'aire égale à a_P et de périmètre p_P et si ε est un nombre réel positif :

${\displaystyle \mu (P+\epsilon \cdot {\mathcal {B}})=a_{P}+p_{P}\cdot \epsilon +\pi \cdot \epsilon ^{2}}$

Dans le cas d'un polygone convexe, la deuxième formule de Steiner-Minkowski est presque évidente, elle est illustrée par la figure en haut à droite, pour le cas d'un hexagone. On peut décomposer l'aire en trois parties. La partie jaune correspond à l'aire a_P du polygone. La partie bleue est l'accroissement de surface au-dessus d'une arête, pour chaque arête on obtient une surface rectangulaire d'aire la longueur de l'arête que multiplie ε. Comme la somme des longueurs des arêtes est égale à p_P, on trouve le terme p_P.ε. Enfin, à chaque sommet, on trouve une portion de disque de rayon ε, représentant un angle θ_s. Comme parcourir le polygone revient à faire un tour complet, la somme des angles θ_s est égal à 2π, ce qui montre que la somme des aires des portions de disque correspond à l'aire d'un disque complet, de rayon ε.

Dans le cas général, le terme p, intervenant dans la formule à démontrer, désigne le périmètre du compact convexe C, il est nécessaire de montrer qu'il est fini.

• La frontière de C est rectifiable :

Si l'intérieur de C est vide, trois points quelconques de C sont alignés sinon la convexité montre que le triangle de sommets ces trois points est inclus dans C et est d'intérieur non vide. C est inclus dans une droite. Comme il est convexe et compact, sa géométrie est celle d'un segment et la proposition est évidente.

Si l'intérieur de C est non vide, on considère un point O de cet intérieur. Cette configuration est illustrée sur la figure de droite. Comme C est compact, il existe un réel positif a tel que le disque de centre O et de rayon a contienne C. On considère un cercle C_b de centre 0 et de rayon b strictement plus grand que a. Ce cercle est illustré en rouge sur la figure. L'objectif est de montrer qu'un polygone P convexe dont les sommets sont des points de la frontière de C est de périmètre plus petit que 2π.b. Le polygone P est illustré en bleu. Pour cela, on considère l'ensemble des segments d'extrémités le centre 0 et un point du cercle C_b frontière du disque, passant par un sommet de P. Ils sont illustrés en vert sur la figure. Soit E l'ensemble des polygones convexes dont les sommets sont tous sur les segments précédemment décrits. Si s est le nombre de sommets de P, on peut identifier E à une partie de [0, b]^s, sous ensemble de R^s. Cette identification permet de munir E de la topologie induite par celle de R^s. L'ensemble E est alors un compact et la fonction qui associe son périmètre à un convexe est continue, elle admet au moins un maximum.

On va montrer qu'il n'existe qu'un unique maximum M, correspondant au polygone illustré en rouge sur la figure et correspondant au point de coordonnées (b,..., b). Pour cela on montre qu'un polygone P_c ayant au moins une coordonnée strictement inférieure à b ne peut être de périmètre maximal dans E. Soit S₂ ce sommet à une distance strictement inférieure à b de O et soit S₁ et S₃ les deux sommets précédents et suivant. Soit L₂ le segment vert, contenant S₂ et d'extrémité O et un point du cercle C_b. Comme les points de E correspondent à des convexes, le sommet S₂ est dans la portion L_2c de L₂ d'extrémités, l'intersection de L₂ avec [S₁, S₃], et un point du cercle. Tout polygone ayant même sommets que P_c à l'exception de S₂, remplacé par un point de L_2c est élément de E. Parmi ces polygones, celui de plus grand périmètre est celui pour lequel S₂ est remplacé par un point du cercle C_b. Le polygone P_c possède un périmètre strictement majoré, il n'est donc pas maximal. Le seul polygone de périmètre maximal possible est M, comme par ailleurs, nous savons qu'il existe un polygone de périmètre maximal dans E, il correspond nécessairement à M.

Le polygone P est de périmètre majoré par celui de M, lui-même majoré par 2π.b. On en déduit que toute ligne polygonale approximant le convexe C est majoré par 2π.b, ce qui montre que la frontière est bien rectifiable.

On appelle p le périmètre de C, qui est une grandeur finie d'après la démonstration précédente. On montre ensuite qu'il est possible d'approcher C par un polygone compact convexe. La lettre η désigne un réel strictement positif.

• Il existe un polygone compact convexe P inclus dans C, à une distance de Hausdorff inférieure à η de C et tel que les périmètres et les aires de C et de P diffèrent de moins de η :

On choisit un polygone convexe dont les sommets sont des points de C et qui approxime le périmètre de C à η près. Quitte à ajouter des points, on choisit le polygone tel qu'aucune arête ne soit de longueur l, supérieure à 1 ou à η/(p + π). Ce polygone est noté P. La surface P + l.B contient le convexe C, la démonstration est proposée dans l'article Théorème isopérimétrique au paragraphe Polygone et Steiner. Ceci montre que la distance de Hausdorff entre P et C est inférieure à η. L'aire μ(P + l.B) est plus grande que celle de C car C est contenu dans P + l.B. La formule de mesure d'une telle aire pour un polygone et le fait que le périmètre de P soit plus petit que celui de C montre que :

${\displaystyle \mu (P)\leq \mu (C)\leq \mu (P+l{\mathcal {B}})\leq \mu (P)+p\cdot l+\pi \cdot l^{2}\leq \mu (P)+\eta }$

La formule est maintenant établit pour les polygones et il existe un polygone proche de C, à la fois en surface et en périmètre. Dans la démonstration suivante, ce polygone permet de montrer que la première formule de Steiner Minkowski est vraie aussi pour C. Si la frontière est un lacet simple, on trouve une démonstration dans l'article Longueur d'un arc.

• La première formule de Steiner-Minkowski est vraie pour C :

Soit (P_n) une suite de polygones contenus dans C tel que la distance de Haudorff entre P_n et C soit inférieur à 1/n, et les périmètres et les aires de P_n et C diffèrent de moins de 1/n. Si on note a_p l'aire de P_n et p_p son périmètre, on dispose des majorations :

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \mu (P_{n}+\epsilon {\mathcal {B}})=a_{n}+p_{n}\cdot \epsilon +\pi \cdot \epsilon ^{2}\leq \mu (C+\epsilon {\mathcal {B}})\leq \mu (P_{n}+(\epsilon +{\frac {1}{n}}){\mathcal {B}})=a_{n}+p_{n}\cdot \epsilon +\pi \cdot \epsilon ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\epsilon +{\frac {\epsilon ^{2}}{n}}\right)}$

On dispose ensuite des majorations, si a désigne l'aire de C :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad a_{n}\leq a\leq a_{n}+{\frac {1}{n}}\quad {\text{et}}\quad \quad p_{n}\leq p\leq p_{n}+{\frac {1}{n}}}$

On en déduit :

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad a+p\cdot \epsilon +\pi \cdot \epsilon ^{2}-{\frac {1}{n}}\left(1+\epsilon \right)\leq \mu (C+\epsilon {\mathcal {B}})\leq a+p\cdot \epsilon +\pi \cdot \epsilon ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(1+2\epsilon +{\frac {\epsilon ^{2}}{n}}\right)}$

Il suffit alors de faire tendre n vers plus l'infini pour conclure.

• La deuxième formule de Steiner-Minkowski est vraie pour C :

C'est une conséquence directe de la première formule de Minkowski et du fait que le coefficient de degré 1 est égal au périmètre de la frontière.

Soit ${\displaystyle n\geq 2}$, et ${\displaystyle A\subsetneq \mathbb {R} ^{n}}$ un ensemble compact. Soit ${\displaystyle \mu (A)}$ la mesure de Lebesgue (volume) de ${\displaystyle A}$. On définit la quantité ${\displaystyle \lambda (\partial A)}$ par la formule suivante (formule de Minkowski-Steiner):

${\displaystyle \lambda (\partial A):=\liminf _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu (A)}{\delta }},}$

avec

${\displaystyle {\overline {B_{\delta }}}:=\left\{x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\left||x|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\leq \delta \right.\right\}}$

désignant la boule fermée de rayon ${\displaystyle \delta >0}$, et

${\displaystyle A+{\overline {B_{\delta }}}:=\left\{a+b\in \mathbb {R} ^{n}\left|a\in A,b\in {\overline {B_{\delta }}}\right.\right\}}$

est la somme de Minkowski de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle {\overline {B_{\delta }}}}$, d'où

${\displaystyle A+{\overline {B_{\delta }}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\left||x-a|\leq \delta {\mbox{ pour }}a\in A\right.\right\}.}$

Prenons ${\displaystyle A={\overline {B_{R}}}}$ qui donne la formule de l'aire de la sphère de rayon ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S_{R}:=\partial B_{R}}$:

${\displaystyle \lambda (S_{R})=\lim _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left({\overline {B_{R}}}+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu \left({\overline {B_{R}}}\right)}{\delta }}}$

${\displaystyle =\lim _{\delta \to 0}{\frac {[(R+\delta )^{n}-R^{n}]\omega _{n}}{\delta }}}$

${\displaystyle =nR^{n-1}\omega _{n},}$

avec ${\displaystyle \omega _{n}}$ défini ci-dessus.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minkowski-Steiner formula » (voir la liste des auteurs).
• (en) Bernard Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Londres, Imperial College Press, 2004, 228 p., poche (ISBN 978-1-86094-508-3, LCCN 2004056946, lire en ligne)
• (en) Herbert Federer, Geometric Measure Theory, New-York, Springer-Verlag, 1969