Formule de Leibniz

Soit n un entier positif. Le produit de deux fonctions d'une variable réelle f et g définies et dérivables jusqu'à l'ordre n sur un intervalle est dérivable jusqu'à l'ordre n. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre n donnée par :

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\ f^{(k)}\ g^{(n-k)}}$

où les nombres entiers ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de f, notée f ⁽⁰⁾, est la fonction f elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur l'entier n. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs en être déduite.

Une démonstration est proposée dans l'article détaillé « Règle du produit ».

La « Quadrature arithmétique » pour π, trouvée par Leibniz en 1674[1], est un exemple de série alternée :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}$

Elle correspond au développement en série de Taylor de la fonction arctan, évalué au point 1.

Elle a été découverte en Occident au XVII^e[2] - [3] - [4], mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province du Kerala, vers 1400[5]. Il l'utilise pour calculer une approximation de π. La thèse la plus courante est que les travaux mathématiques indiens de cette période ne seront connus en Occident qu'à la fin du XIX^e siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.

Le déterminant d'une matrice carrée ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ d'ordre n est le nombre :

${\displaystyle \det(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$

où S_n est le groupe des permutations de {1, 2, … , n} et pour une permutation σ de S_n, ε(σ) désigne sa signature, égale à 1 si la permutation est paire et –1 sinon.