Fonction à variation lente

En analyse réelle, une fonction à variation lente est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction qui converge à l'infini. De même, une fonction variant régulièrement est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction de loi de puissance (comme un polynôme) proche de l'infini. Ces deux classes de fonctions ont été introduites par Jovan Karamata[1] - [2] et ont trouvé plusieurs applications importantes, par exemple en théorie des probabilités.

Définitions

La théorie de Karamata a pour objet l'étude de relations asymptotiques de la forme

{\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}}=g(a)\in (0,\infty )

En particulier, une fonction mesurable $L:(0,\infty )\to (0,\infty )$ est dite à variation lente (à l'infini) si, pour tout $a>0$ , on a

\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1

Une fonction $L:(0,\infty )\to (0,\infty )$ est à variation régulière si, pour tout $a>0$ , on a

\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} _{+}

En particulier, la limite doit donc être finie.

Ces définitions sont dues à Jovan Karamata[1] - [2].

Propriétés de base

Les fonctions à variation régulière ont des propriétés importantes[1] dont une partie est détaillée ci-dessous. Des analyses plus poussées des propriétés caractérisant la variation régulière sont présentées dans la monographie de Bingham, Goldie & Teugels (1987).

Uniformité du comportement limite

Dans les deux définitions, les limites sont uniformes sur des parties compactes du paramètre $a>0$ .

Théorème de caractérisation de Karamata

Théorème — Tout fonction à variation régulière est de la forme

f(x)=x^{\beta }L(x)

où $\beta$ est un nombre réel et $L$ et une fonction à variation lente.

Cela implique que la fonction $g(a)=\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1$ dans la définition est nécessairement de la forme :

g(a)=a^{\rho }

pour un nombre réel $\rho$ ; ce nombre est appelé l'indice de variation régulière, et la classe des fonctions de cet indice est notee $R_{\rho }$

Théorème de représentation de Karamata

Théorème — Une fonction $L$ varie lentement si et seulement s'il existe un nombre $B>0$ tel que pour tout $x\geq B$ , la fonction peut s'écrire sous la forme

L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)

où $\eta (x)$ est une fonction bornée mesurable qui converge vers un nombre fini quand $x$ tend vers l’infini et $\varepsilon$ est une fonction mesurable bornée qui tend vers 0 quand $x\to \infty$ .

Théorème de Karamata

Théorème — Si $f\in R_{\rho }$ et $\sigma >-(\rho +1)$ , alors

{\frac {x^{\rho +1}f(x)}{\int _{a}^{x}{t^{\sigma }f(t)}{dt}}}\rightarrow \sigma +\rho +1(x\rightarrow \infty ).

Cela signifie que la fonction $L$ dans la formule $f(x)=x^{\rho }L(x)$ se comporte asymptotiquement comme une constante sous l'intégration. Inversement, l'équation implique $f\in R_{\rho }$ .

Exemples

Si $L$ est une fonction mesurable et a une limite

\lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),

alors

L

est une fonction variant lentement.

La fonction $L(x)=\log ^{\beta }(x)$ varie lentement pour tout nombre réel $\beta$ .
Ni la fonction $L(x)=x$ ni la fonction $L(x)=x^{\beta }$ pour $\beta \neq 0$ ne varie lentement. Cependant, ces fonctions varient régulièrement.

Applications

Une application importante de la théorie de Karamata à l'analyse est le théorème taubérien de Karamata (ou théorème de Hardy-Littlewood-Karamata) :

Théorème — Soit $f\in R_{\rho }$ (avec $\rho \geq 0$ ) une fonction croissante, avec la transformée de Laplace-Stieltjes

{\widehat {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }{e^{-sx}}{df(x)}

On a $f(x)\sim c{{x^{\rho }L(x)}/{\Gamma (1+\rho )}}$ quand $x\rightarrow \infty$ avec $c\geq 0$ , et $L\in R_{0}$ si et seulement si ${\widehat {f}}(s)\sim cs^{-\rho }L({1/s})$ ( $s\downarrow 0$ ).

La réunion des classes $R_{\rho }$ , pour $\rho \in \mathbb {R}$ , est la classe des fonctions à variation régulière notée $R$ . Cette classe est contenue dans la classe plus large ER des fonctions régulières étendues, elle-même incluse dans la classe OR des fonctions à variation 0-régulière : $R\subset ER\subset OR$ . De même qu'une fonction $f\in R$ possède un indice $\rho$ de variation régulière, et donc $f\in R_{\rho }$ , une fonction $f\in ER$ admet un couple $(c(f),d(f))$ d'indices de Karamata supérieurs et inférieurs (et ceux-ci sont égaux si et seulement si $f\in R$ ) et une fonction $f\in OR$ possède une paire $\alpha (f),\beta (f)$ d'indices de Matuszewska supérieur et inférieur. Ces classes ER et OR ont des propriétés analogues à celles décrites ci-dessus, par exemple, les théorèmes de convergence uniforme et de représentation sont valables.

La théorie de Karamata a été largement utilisée dans plusieurs domaines de l'analyse, comme les théorèmes taubériens et abéliens et le théorème de Mercer, la théorie de Levin-Pfluger de croissance complètement régulière des fonctions entières[2], et est également utile dans les questions asymptotiques en théorie analytique des nombres[2]. Elle a été largement utilisée aussi en théorie des probabilités, à la suite des travaux de W. Feller[3].

Voir également

Théorie analytique des nombres
Théorème taubérien de Hardy-Littlewood et son traitement par Karamata.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Karamata Theory » (voir la liste des auteurs).

(Galambos et Seneta 1973)
(Bingham, Goldie et Teugels 1987).
W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, Springer (1976).

Bibliographie

(en) N. H. Bingham, « Karamata theory », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
N. H. Bingham, C. M. Goldie et J. L. Teugels, Regular Variation, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 27), 1987 (ISBN 0-521-30787-2, MR 0898871, zbMATH 0617.26001, lire en ligne)
J. Galambos et E. Seneta, « Regularly Varying Sequences », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 41, n^o 1,‎ 1973, p. 110–116 (DOI 10.2307/2038824 , JSTOR 2038824).