Loi de puissance

L'une des caractéristiques des lois de puissance est leur invariance d'échelle. Le phénomène est le suivant : pour un changement d'échelle de la variable, la fonction est seulement multipliée par un coefficient :

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x).\!}$

Ainsi toutes les lois de puissance de même exposant sont équivalentes à un facteur constant près.

Sur un graphique aux échelles logarithmiques, le graphe d'une loi de puissance est une droite. En effet, la relation ci-dessus peut s'écrire :

${\displaystyle \scriptstyle \log(y)=k\log(x)+\log(a)\,\!}$

En posant ${\displaystyle \scriptstyle X=\log x}$, et ${\displaystyle \scriptstyle Y=\log y}$, on trouve l'équation d'une fonction affine ${\displaystyle \scriptstyle Y=\alpha X+\beta }$ dont la pente ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ est la valeur de l'exposant k et l'ordonnée à l'origine ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ est le logarithme de la constante de proportionnalité a.

Elle est facilement confondue avec la loi de probabilité log-normale car elles sont toutes les deux asymptotiques. Pour éviter cet écueil on peut utiliser des méthodes bayesiennes ou de test statistique d'hypothèse. La caractérisation par un graphique en échelle logarithmique peut prêter à confusion avec une distribution log-normale, une règle simple pour les différencier est de vérifier que le tracé log-log est droit sur au moins trois ordres de grandeurs.

• La loi de puissance s'observe dans les wikis suivant la règle des 90-9-1 : 90 % de la population utilisatrice ne contribue pas ; neuf pour cent sont des contributeurs occasionnels et un pour cent de la population totale contribue régulièrement.
• La Loi de Stevens qui donne une relation entre la perception et la stimulation, s'écrit comme une loi puissance.

• En thermodynamique, la loi de Stefan-Boltzmann donne une relation entre la fonction d'énergie et la température.
• Lanchester a établi qu'avec des armes agissant à distance, les dégâts dans un combat entre plusieurs assaillants sont proportionnels au carré de la taille des effectifs[1] - [2] (phénomène dit d'« attrition »).

Certains réseaux, comme Internet peuvent être modélisés par ce que l'on appelle réseau invariant d'échelle, où les degrés du graphe suivent une loi de puissance[3].

• Lois scalantes
• Loi de Pareto (probabilités)
• Règle du 1 %