Théorème taubérien de Hardy-Littlewood

Supposons que a_n ≥ 0 pour tout n, et que lorsque x${\displaystyle \rightarrow }$1 on ait

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\sim {\frac {1}{1-x}}.}$

Alors quand n tend vers ∞ on a

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}$

Le théorème est parfois énoncé avec des variantes, qui requièrent, à la place de a_n ≥ 0, que a_n = O(1), ou a_n ≥ −K pour une certaine constante K[2].

En 1930, Jovan Karamata a trouvé une courte démonstration du théorème en considérant les fonctions g telles que

${\displaystyle \lim _{x\to 1}(1-x)\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}g(x^{n})=\int _{0}^{1}g(t)\,\mathrm {d} t}$

Un calcul facile montre que cette propriété est vraie pour tous les monômes g(x)=x^k et par conséquent est vraie pour tous les polynômes. Cela peut être alors étendu aux fonctions continues par morceaux (en utilisant notamment le théorème de Stone-Weierstrass et le fait que les a_n sont positifs. En particulier, la fonction g telle que g(t)=1/t si 1/e<t<1 et 0 autrement vérifie cette propriété. Mais alors pour x=e^−1/N la somme Σa_nxⁿg(xⁿ) est a₀+...+a_N et l'intégrale de g vaut 1. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood s'en déduit alors.

• Fonction à variation lente