Théorème de Mercer

Pour expliquer le théorème de Mercer, commençons par un cas particulier important ; voir plus bas pour une formulation plus générale.

Le terme noyau, dans ce contexte, est une fonction continue

${\displaystyle K:[a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

telle que K(x, s) = K(s, x).

K est dit de type positif[2] - [3] si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}K(x_{i},x_{j})c_{i}c_{j}\geq 0}$

pour toute suites finies de points x₁, …,x_n de [a, b] et tout choix des réels c₁, …,c_n (cf. Noyau de type positif (en)).

À K on associe l'opérateur intégral ${\displaystyle T_{K}}$ défini par :

${\displaystyle \left[T_{K}\varphi \right](x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,{\rm {d}}s.}$

Pour des raisons techniques nous supposerons que φ peut parcourir l'espace L²[a, b] des fonctions réelles de carré intégrable.

Donnons avec force détails la structure de la preuve du théorème de Mercer, particulièrement dans ses rapports avec la théorie spectrale des opérateurs compacts normaux.

• L'application ${\displaystyle K\mapsto T_{K}}$ est injective.
• T_K est un opérateur compact autoadjoint positif sur L²[a,b] ; de plus K(x, x) ≥ 0.

Pour montrer la compacité, on remarque d'abord que l'image de la boule unité de L²[a,b] par T_K est équicontinue. Le théorème d'Ascoli permet d'en déduire que cette image est relativement compacte dans C([a,b]) muni de la norme de la convergence uniforme et a fortiori dans L²[a,b].

La théorie spectrale des opérateurs compacts normaux sur un espace de Hilbert montre qu'il existe une base hilbertienne (e_i)_i de L²[a,b] propre pour T_K :

${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b}K(t,s)e_{i}(s)\,{\rm {d}}s.}$

Pour tout λ_i > 0, le vecteur propre e_i est donc une fonction continue sur [a,b] (comme toutes les images par T_K d'éléments de L²[a,b]). Or[3]

${\displaystyle \sum \lambda _{i}|e_{i}(t)|^{2}=K(t,t)}$

et d'après le théorème de Dini pour les suites croissantes de fonctions continues cette convergence est uniforme, ce qui permet, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz et au critère de Cauchy, de montrer[3] que la série

${\displaystyle \sum \lambda _{i}e_{i}(t)e_{i}(s)}$

converge absolument et uniformément en t vers un noyau K₀ dont il est aisé de voir qu'il définit le même opérateur que le noyau K. Donc K = K₀, d'où le théorème de Mercer.

On déduit de ce qui précède :

Cela montre que l'opérateur T_K est à trace et

${\displaystyle \operatorname {trace} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\mathrm {d} t.}$

Le théorème se généralise en remplaçant l'intervalle [a, b] par un espace compact, la mesure de Lebesgue sur [a, b] étant remplacée par une mesure finie dénombrablement additive μ sur les boréliens de X. Supposons que le support de μ est X, c'est-à-dire que μ(U) > 0 pour tout ouvert U non vide de X. Alors on a essentiellement le même résultat :

La généralisation suivante porte sur la représentation des noyaux mesurables.

Soit (X, M, μ) un espace mesuré σ-fini. Un noyau L² sur X est une fonction

${\displaystyle K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\times X).}$

Tout noyau L² définit un opérateur borné T_K, par la formule :

${\displaystyle \langle T_{K}\varphi ,\psi \rangle =\int _{X\times X}K(y,x)\varphi (y)\psi (x)\,{\rm {d}}[\mu \otimes \mu ](y,x).}$

T_K est un opérateur compact (c'est même un opérateur de Hilbert-Schmidt (en)). Si le noyau K est symétrique, par le théorème spectral pour les opérateurs compacts normaux sur un espace de Hilbert, il existe une base hilbertienne constituée de vecteurs propres pour T_K. Les vecteurs de cette base correspondant aux valeurs propres non nulles forment une famille dénombrable (e_i)_i (même si le Hilbert n'est pas séparable).

Noter que si le noyau n'est plus supposé continu, le développement ne converge plus nécessairement uniformément.

Le théorème de Mercer est utilisé en apprentissage automatique, pour l'astuce du noyau.

• (en) Alain Berlinet et Christine Thomas, Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics, Kluwer Academic Publishers, 2004
• (en) Adriaan Cornelis Zaanen (en), Linear Analysis, North Holland, 1960
• (en) Konrad Jörgens, Linear Integral Operators, Pitman, Boston, 1982
• (de) Richard Courant et David Hilbert, Methoden der mathematischen Physik (en), vol 1, Interscience, 1953
• (en) Robert B. Ash, Information Theory, Dover, 1990
• (en) Hermann König (de), Eigenvalue Distribution of Compact Operators, Birkhäuser, 1986 — Donne une généralisation du théorème de Mercer pour une mesure finie μ.