Convection thermique

Présentation de la convection dans une casserole.

• Le mouvement dans une casserole posée sur le feu s'explique par les différences de densité créées par le chauffage. Le fluide se met en mouvement spontanément, par convection naturelle, quand la différence de température entre le haut et le bas de la couche d'eau atteint une valeur critique.
• La fumée de cigarette ou de cheminée monte car la combustion crée une zone très chaude et très peu dense par rapport à l'air environnant. Cette zone de fluide monte sous l'action de la poussée d'Archimède.
• Le chauffage par le sol relève du même principe. La couche chaude à la base des pièces, du fait de la dilatation thermique, devient plus légère (relativement) et engendre une circulation dans la maison.
• Le fonctionnement de la lampe à lave repose sur ce même phénomène : la cire est chauffée par le fond jusqu'à ce que sa densité soit inférieure à celle du fluide environnant. Elle s'élève alors en formant des panaches qui, une fois au sommet de la lampe, refroidissent et retombent au fond du récipient.
• Dans le manteau terrestre, des courants de convection mantellique sont à l'origine des contraintes de compression et des contraintes d'expansion (selon leurs mouvements), ce qui cause la déformation des roches.
• Pour l'isolation thermique d'une habitation, l'air enfermé entre la toiture et le plancher des combles, ou entre un mur porteur et un mur intérieur, n'assure aucunement l'isolation à cause du phénomène de convection accéléré par une différence de température entre paroi chaude et paroi froide. Pour réaliser l'isolation, il faut ajouter dans cet espace un matériau isolant dans lequel l'air enfermé dans des bulles ou entre des fibres ne peut pas participer à la convection.

Notation :

• ${\displaystyle \lambda }$ désigne la conductivité thermique du fluide ;
• ${\displaystyle \rho }$ désigne la masse volumique du fluide ;
• ${\displaystyle c_{p}}$ désigne la capacité thermique massique du fluide ;
• ${\displaystyle T}$ désigne la température du fluide ;
• ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ désigne la vitesse du fluide ;
• ${\displaystyle {\overrightarrow {\varphi }}}$ désigne la densité de flux thermique.

Hypothèses simplificatrices :

• Propriétés (${\displaystyle \lambda }$,${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle c_{p}}$) du fluide constantes.
• Pas de changement de phase.
• Milieu stationnaire.
• Fluide incompressible.

La mise en équation de la diffusion de la chaleur (loi de Fourier) au sein du fluide aboutit à :

${\displaystyle {\overrightarrow {\varphi }}_{dif}}$ = ${\displaystyle -\lambda }$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}}$${\displaystyle T}$

La mise en équation de l'advection de la chaleur au sein du fluide aboutit à :

${\displaystyle {\overrightarrow {\varphi }}_{adv}=\rho \,c_{p}T{\overrightarrow {u}}}$

La densité de flux de chaleur par convection est la somme de la densité de flux de chaleur par diffusion et par advection, soit :

${\displaystyle {\overrightarrow {\varphi }}_{conv}=-\lambda {\overrightarrow {\nabla }}T+\rho \,c_{p}T{\overrightarrow {u}}}$

Le premier principe de la thermodynamique affirme que l'énergie se conserve, ce qui se traduit en équation par :

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\varphi }}=-\rho \,c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}}$

Ce qui permet d'écrire l'équation d'advection-diffusion de la chaleur :

${\displaystyle \rho \,c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left(-\lambda {\overrightarrow {\nabla }}T+\rho \,c_{p}T{\overrightarrow {u}}\right)}$

Puisqu'il a été supposé que le fluide est incompressible${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {u}}=0}$. Cela donne :

${\displaystyle \rho \,c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda \Delta T-\rho c_{p}\left({\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)T}$

Les solutions de cette équation ne peuvent être trouvées que si le champ de vitesse est connue. Sinon il est nécessaire de résoudre, préalablement ou en parallèle, les équations de Navier-Stokes. C'est, entre autres, l'un des objectifs de la mécanique des fluides numérique.

Pour un écoulement à température ${\displaystyle T_{\infty }}$ autour d'une structure à température de surface uniforme ${\displaystyle T_{\mathrm {S} }}$ et d'aire A, l'expression du flux de chaleur convectif φ est donnée par la loi de Newton :

${\displaystyle \varphi =hA(T_{\mathrm {S} }-T_{\infty })}$

où :

• φ est exprimé en watts (W) ;
• h est le coefficient de convection thermique, en watts par mètre carré et par kelvin (W/m²/K, W⋅m⁻²⋅K⁻¹).

Pour une convection en air calme, dans des conditions normales de température et de pression, on a typiquement h compris entre 5 et 25 W m⁻² K⁻¹

L’existence de la fonction est connue, mais pas la fonction elle-même. De nombreuses études expérimentales ont permis d’identifier des corrélations empiriques s'approchant de la fonction reliant ces deux nombres. Ces corrélations sont souvent regroupées dans des abaques, utiles à l'ingénieur qui pourra ainsi déduire le coefficient de transfert thermique pour des configurations typiques.

L'analyse dimensionnelle et l'application du théorème de Vaschy-Buckingham à un problème (simplifié) de convection forcée permet de montrer que seuls deux nombres adimensionnels suffisent pour décrire le problème. Conventionnellement, on utilise le nombre de Reynolds et le nombre de Nusselt :

• ${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,U\,L}{\mu }}}$, nombre de Reynolds
• ${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {h\,L}{\lambda }}}$, nombre de Nusselt

avec :

• ${\displaystyle \rho }$ - masse volumique
• ${\displaystyle U}$ - vitesse caractéristique du problème
• ${\displaystyle L}$ - longueur caractéristique du problème
• ${\displaystyle \mu }$ - viscosité dynamique
• ${\displaystyle \lambda }$ - conductivité thermique

Le théorème de Vaschy-Buckingham affirme qu'il existe une fonction reliant ces deux nombres adimensionnels :

• ${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Re} )}$

L'analyse dimensionnelle et l'application du théorème de Vaschy-Buckingham à un problème (simplifié) de convection libre permet de montrer que seulement deux nombres adimensionnels suffisent pour décrire le problème. Conventionnellement on utilise le nombre de Rayleigh et le nombre de Nusselt :

• ${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{\mathrm {s} }-T_{\infty }){L_{\mathrm {c} }}^{3}}$
• ${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {h\,L}{\lambda }}}$, nombre de Nusselt ;

avec :

• g - accélération de la pesanteur
• L_c - longueur caractéristique
• T_s - température de la paroi
• T_∞ - température du fluide loin de la paroi
• ν - viscosité cinématique
• α - Diffusivité thermique
• β - coefficient de dilatation thermique volumétrique

Le théorème de Vaschy-Buckingham affirme qu'il existe une fonction reliant ces deux nombres adimensionnels :

• ${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Ra} )}$

• (en) Adrian Bejan, Convection Heat Transfer, John Wiley & Sons, 2013, 704 p. (ISBN 978-1-118-33008-1, lire en ligne)
• (en) Oleg G. Martynenko et A. F. Polijakov, « Free Convection », sur Thermopedia
• (en) A. V. Getling, « Rayleigh-Bénard convection », sur Scholarpedia