Conjecture de Baum-Connes

Soit Γ un groupe localement compact à base dénombrable (par exemple un groupe discret dénombrable). On peut définir le morphisme d'assemblage :

${\displaystyle \mu \colon RK_{k}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }})\to K_{k}(C_{\lambda }^{*}(\Gamma ))~,}$

où ${\displaystyle RK_{k}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }})}$ et ${\displaystyle K_{k}(C_{\lambda }^{*}(\Gamma ))}$ (k valant 0 ou 1) désignent respectivement :

• la K-homologie équivariante à supports Γ-compacts de l'espace E Γ qui classifie les actions propres de Γ,
• la K-théorie de la C*-algèbre réduite de Γ.

Paul Baum et Alain Connes ont conjecturé, en 1982, que

le morphisme d'assemblage μ est un isomorphisme.

Comme le membre de gauche semble moins difficile à calculer que celui de droite (parce qu'on connait très peu de théorèmes généraux de structure sur les C*-algèbres), on considère souvent cette conjecture comme une explicitation du membre de droite.

À l'origine, la conjecture n'était pas formulée en ces termes car la notion de K-homologie équivariante n'avait pas encore émergé.

Dans le cas où Γ est discret et sans torsion, le membre de gauche se réduit à la K-homologie non équivariante à supports compacts de l'espace classifiantespace classifiant usuel BΓ de Γ.

Il existe aussi une forme plus générale, dite à coefficients, de la conjecture Baum-Connes, dans laquelle les deux membres sont à coefficients dans une C*-algèbre A sur laquelle Γ agit par automorphismes. Elle s'énonce dans le langage de la KK-théorie (de) en disant que le morphisme d'assemblage

${\displaystyle \mu _{A,\Gamma }\colon RKK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }},A)\to K_{*}(A\rtimes _{\lambda }\Gamma )}$

est un isomorphisme, et la version sans coefficients correspond au cas A = ℂ.

Cependant, en 2002, Nigel Higson, Vincent Lafforgue et Georges Skandalis ont trouvé des contre-exemples à la conjecture à coefficients, en s'appuyant sur des résultats de Gromov (néanmoins non reconnus, en 2008, par la totalité de la communauté mathématique) qui concernent les graphes expanseurs dans les graphes de Cayley[1]. Même si cette construction se confirme, la conjecture à coefficients reste un sujet de recherche active car, contrairement à la conjecture classique, on la considère souvent comme un énoncé concernant des groupes ou ensembles de groupes particuliers.

Soit Γ le groupe ℤ des entiers relatifs. Alors le membre de gauche est la K-homologie de son classifiant Bℤ qui est le cercle. Par l'isomorphisme de Gelfand (en), qui n'est autre ici que la transformation de Fourier, la C*-algèbre du groupe est isomorphe à l'algèbre des fonctions continues sur le cercle, donc le membre de droite est la K-théorie topologique du cercle. Le morphisme d'assemblage est alors la dualité de Poincaré en KK-théorie (définie par Gennadi Kasparov (de)) et c'est un isomorphisme.

Un autre exemple simple est donné par les groupes compacts. Dans ce cas, les deux membres sont naturellement isomorphes à l'anneau des représentations complexes (en) R_ℂ(K) du groupe K, et le morphisme d'assemblage, via ces isomorphismes, est l'application identité.

La conjecture sans coefficients est toujours non résolue en toute généralité. Elle a été le sujet de nombreux travaux, et a été démontrée pour les classes de groupes suivantes :

• les groupes ayant la propriété de Haagerup (en), ou groupes a-T-moyennables de Gromov[2], qui vérifient même la conjecture à coefficients[3]
  (parmi les groupes a-T-moyennables figurent les groupes moyennables, les groupes de Coxeter, les groupes agissant proprement sur un arbre ou sur un complexe cubique CAT(0) ; ceci inclut aussi les groupes de Lie SO(n,1), SU(n,1) et leurs sous-groupes discrets) ;
• les groupes à une relation (i.e. admettant une présentation avec un nombre fini de générateurs et une seule relation), qui vérifient même la conjecture à coefficients[4] ;
• les sous-groupes discrets cocompacts des groupes suivants[5] - [6] :
  • les groupes de Lie réels de rang 1 : on l'a vu plus haut pour SO(n,1) et SU(n,1), mais ceci inclut aussi Sp(n,1) (n > 1) et F_4(–20) qui, eux, ont la propriété (T)[7],
  • SL₃ d'un corps local (par exemple ℝ, ℂ ou le corps ℚ_p des nombres p-adiques), qui a également la propriété (T)[8]

(les groupes discrets infinis ayant la propriété (T) de Kazhdan et pour lesquels on sait démontrer la conjecture sont encore rares[9] ; ces premiers exemples n'ont été exhibés qu'en 1998, par Vincent Lafforgue[5] - [10]) ;

• les groupes hyperboliques de Gromov et leurs sous-groupes (ceci inclut en particulier les réseaux cocompacts des groupes de Lie de rang 1), qui vérifient même la conjecture à coefficients[11].

Dans le cas des groupes non discrets, on dispose de résultats très généraux :

• la conjecture est connue pour les groupes de Lie réels connexes réductifs (A. Wassermann, 1987) ;
• plus généralement, elle a été démontrée par J. Chabert, S. Echterhoff et R. Nest[12] pour la classe des groupes presque connexes (un groupe topologique G est dit presque connexe si G/G₀ est compact, où G₀ est la composante connexe de l'identité dans G), et aussi pour les groupes algébriques sur les corps locaux de caractéristique nulle (ℝ, ℂ et les extensions finies de ℚ_p).

L'injectivité est connue pour bien plus de groupes grâce à la méthode Dirac-dual Dirac. Celle-ci remonte à des idées de Michael Atiyah, généralisées et formalisées en 1987 par Gennadi Kasparov. L'injectivité est connue pour les classes suivantes :

• les sous-groupes discrets de groupes de Lie connexes ou virtuellement connexes,
• les sous-groupes discrets des groupes p-adiques,
• les groupes boliques (qui sont une généralisation des groupes hyperboliques),
• les groupes agissant de façon moyennable sur un espace compact.

L'exemple le plus simple d’un groupe dont on ne sait pas s'il vérifie la conjecture est SL₃(ℤ).

Conjecture de Farrell-Jones (en)