Complexité de Kolmogorov

Considérons une machine informatique M pouvant exécuter des programmes. On dit que cette machine est universelle lorsqu’elle peut émuler n'importe quelle autre machine informatique. La machine de Turing universelle en est un exemple.

On note P_M l'ensemble des programmes écrits pour la machine M. Pour un programme p ∈ P_M, on note l(p) sa longueur en nombre d’instructions pour la machine M et s(p) sa sortie. La complexité de Kolmogorov K_M(x), ou complexité algorithmique, d’une suite x finie de caractères pour une machine M est définie par :

${\displaystyle K_{M}(x)=\min _{p\in P_{M}}\{l(p),s(p)=x\}}$.

C’est donc la longueur du plus petit programme écrit pour la machine M qui génère la suite x. Une suite constante a une complexité faible car les programmes qui la génèrent peuvent être très courts.

Reste à savoir dans quelle mesure la fonction K_M(x) dépend de la machine M, car on peut tout à fait imaginer une machine possédant des instructions simples pour générer certaines suites complexes. La réponse est la suivante : il existe une machine universelle U (souvent qualifiée d'additivement optimale) telle que pour toute machine M il existe une constante c_M vérifiant pour toute suite x l'inégalité :

${\displaystyle K_{U}(x)\leq K_{M}(x)+c_{M}}$

Intuitivement, c_M est la longueur d'un interpréteur (ou d'un émulateur), écrit pour la machine U, du langage utilisé par la machine M. On parle alors d’universalité de la complexité de Kolmogorov, en ce sens qu'elle ne dépend pas, à une constante additive près, de la machine considérée.

Une suite peut alors être considérée comme d’autant plus « aléatoire » que sa complexité est grande par rapport à sa taille. De ce point de vue, les décimales des nombres π, e ou √2 ne sont pas vraiment aléatoires puisqu'il existe des algorithmes très simples pour les calculer.

Une difficulté supplémentaire réside dans le fait que la complexité de Kolmogorov n'est pas décidable : on peut donner un algorithme produisant l'objet voulu, ce qui prouve que la complexité de cet objet est au plus la taille de cet algorithme. Mais on ne peut pas écrire de programme qui donne la complexité de Kolmogorov de tout objet que l'on voudrait lui donner en entrée.

La notion, manipulée avec précaution, se révèle néanmoins à l'origine de nombreux résultats théoriques.

Par exemple, on appelle nombre incompressible au sens de Kolmogorov un réel dont le développement p-adique (binaire pour plus de commodité) est comparable à la taille de l'algorithme qui permet de le calculer. En ce sens, tous les rationnels et certains irrationnels sont compressibles, en particulier les nombres transcendants comme π, e ou 0,12345678910111213… dont le développement binaire est infini mais la suite des décimales parfaitement calculable. En revanche, le nombre dit Ω de Chaitin ne l'est pas : ce nombre mesure la probabilité qu'une machine, alimentée par un programme composé de bits aléatoires, s'arrête. La topologie des nombres incompressibles est intéressante : on conçoit intuitivement que cet ensemble est dense dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mais il est impossible d'exhiber de façon algorithmique un réel incompressible, puisque cela reviendrait à en donner une méthode de calcul efficace. De plus, on peut démontrer que tous les nombres incompressibles sont normaux, la suite de leurs décimales doit être aléatoire au sens fort.

La complexité de Kolmogorov n'est pas calculable. En d'autre termes il n'existe pas de programme informatique qui prenne en entrée s et renvoie K(s). Pour le prouver, raisonnons par l'absurde et supposons qu'une telle fonction Kolmo existe. On note k la taille de cette fonction (i.e. le nombre de caractères de son code source). On pourrait alors écrire l'algorithme suivant :

  n := 1
  Tant que Kolmo(n) < k + 100 faire:
    n := n + 1
  Fin du Tant que
  écrire n

Ainsi cet algorithme écrit le plus petit nombre à avoir une complexité de Kolmogorov supérieure à k+100 (ce nombre existe nécessairement car il n'y a qu'un nombre fini de programmes de taille plus petite que k+100 et il y a une infinité de nombres entiers naturels).

Mais l'algorithme ci-dessus s'écrit justement avec moins de k+100 caractères : il est donc de complexité inférieure à k+100, or il écrit justement un nombre de complexité supérieure à k+100, ce qui est absurde (on peut rapprocher cette remarque de l'argument utilisé pour le paradoxe de Berry).

Donc il n'existe pas de fonction qui calcule la complexité de Kolmogorov.

La définition de la complexité de Kolmogorov est défini en fonction du plus petit programme qui produit x. Mais ce programme pourrait consommer d'importantes ressources. C'est pourquoi il est important de prendre en compte les ressources utilisées par le programme[4]. Soit U une machine universelle. Voici une version bornée par le temps t :

${\displaystyle C^{t}(x)=\min _{p}\{|p|:U(p){\text{ écrit }}x{\text{ en }}t(|x|){\text{ étapes}}\}}$

On notera que la complexité temporelle est définie en fonction de la sortie x et non pas de la taille du programme p. Sipser, en 1983[5], a proposé une mesure de la taille du plus petit programme qui permet de distinguer une chaîne de caractère x. Buhrman, Fortnow et Laplante en 2002 en donnèrent une version non déterministe, en prenant une machine universelle non-déterministe[6]. On trouve d'autres définitions chez Levin, et chez Allender[7] où la définition de la complexité est la somme de la complexité de Kolmogorov et la contribution de la complexité temporelle.

Des liens entre complexité de Kolmogorov et théorie de la complexité ont établi en utilisant l'ensemble suivant comme oracle :

R = ensemble des chaînes de caractères x dont la complexité de Kolmogorov est au moins |x|/2

En 2002, Allender, Buhrman, Koucky, van Melkebeek et Ronnerbuger[8] démontrent que PSPACE est inclus dans P^R et que EXPTIME est inclus dans NP^R. Puis, en 2004, Allender, Buhrman, Koucky démontrent[9], en utilisant les mêmes techniques, que NEXPTIME est inclus dans NP^R.

Une partie de cet article (ou d'une version antérieure) est adaptée de « Petit manuel à l’usage des agrégatifs préparant l’oral de modélisation stochastique », écrit par Djèlil Chafaï et publié sous GFDL.