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Compacité (astronomie)

En astronomie, la compacité[1] d'un objet céleste est une grandeur adimensionnelle correspondant au rapport du rayon de Schwarzschild de l'objet (c'est-à-dire le rayon qu'aurait un objet de même masse s'il était un trou noir de Schwarzschild) à sa taille réelle (l'objet étant implicitement supposé plus ou moins sphérique).

Compacité
Description de cette image, également commentée ci-après
Par définition, la compacité d'un trou noir est égale à un demi.
Dimension 1 (grandeur « sans dimension »)
Base SI sans unité
Nature Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel
Lien à d'autres grandeurs

La compacité d'un objet céleste exprime l'intensité du champ gravitationnel qui lui est associé. Lorsque la compacité d'un objet céleste est élevée, cet objet est dit objet compact ou ultracompact. Le champ gravitationnel qui lui est associé est dit champ gravitationnel fort[2]. Un tel objet et son champ gravitationnel ne peuvent être décrits que dans le cadre de la relativité générale. Les effets relativistes sont si importants que l'approximation des champs faibles, correspondant à la description newtonienne de la gravitation, cesse de leur être applicable.

Notation

La compacité est couramment notée , symbole littéral correspondant à la lettre xi majuscule de l'alphabet grec [3].

Expressions

La compacité d'un objet s'écrit[4] - [5] - [6] - sect._3,_§ 3.2_7-0">[7] - col. 1§ 26.2.2_8-0">[8] - chap. 1er,_sect._1.2,_§ 1.2.4_9-0">[9] :

où :

  • est la masse de l'objet : ;
  • est le rayon de l'objet ;
  • est la constante gravitationnelle : ;
  • est la vitesse de la lumière dans le vide : .

Elle s'écrit aussi :

,

où :

Valeur

La compacité d'un objet est une grandeur sans dimensionsect._3,_§ 3.2_7-1">[7] - chap. 4,_sect._4.3,_§ 4.3.2_10-0">[10] - chap. 1er,_sect._1.2,_§ 1.2.4_9-1">[9] dont la valeur numérique est égale à 1 à l'horizon des évènements d'un trou noir de Kerr extrémalintrod._11-0">[11]. Elle est ainsi égale à 0,5 à l'horizon des évènements d'un trou noir de Schwarzschildintrod._11-1">[11].

Elle est proportionnelle à sa masse linéique, , qui correspond au rapport de sa masse à son rayon :

.

La constante est l'inverse de la compacité de Planck : .

Calcul rapide

D'après ce qui précède, on peut déterminer la compacité d'un objet A en connaissant celle d'un objet B (référence), des rayons et et des masses et de A et B respectivement. On a alors simplement :

.
  • À masse constante, la compacité est inversement proportionnelle au rayon.
  • À rayon constant, la compacité est proportionnelle à la masse.

Interprétation

La compacité peut être interprétée comme le rapport de l'énergie potentielle gravitationnelle de l'objet par son énergie de masse[5] :

,

où :

  • est la valeur absolue de l'énergie potentielle gravitationnelle ;
  • est l'énergie de masse : .

Ordres de grandeur

Diagramme masse-rayon mettant en évidence la compacité de différents objets célestes.

Voici la compacité de certains objets, par ordre décroissant :

ObjetMasse
M
Rayon de Schwarzschild correspondant
RS
Rayon réel
R (m)
Masse volumique
ρ (kg/m3)
Compacité
Ξ
Remarques
Singularité au cœur d'un trou noirquelconque0
Univers visible~ 8 × 1053 kg~ 1 × 1027 m~ 4 × 1026(1,0±0,1) × 10-26~ 3Modèle utilisé : densité correspondant à la densité critique et rayon (réel) de 45 milliards d'années-lumière. Masse calculée à partir de cette densité et de ce rayon.
Trou noir de Kerrquelconque(horizon)entre 1 et 2
Trou noir de Schwarzschildquelconque
(horizon)
0,5Le rayon de Schwartzschild d'un objet est, par définition, le rayon de l'horizon d'un trou noir de Schwartzschild de même masse. Par construction, le rayon de l'horizon d'un trou noir de Schwartzschild est donc aussi son rayon de Schwarzschild et, par suite, sa compacité vaut donc 1/2.
Étoile à neutrons~ 1,4 M~ 3 × 104 m0,15
Naine blanche~ 1 M~ 6 × 106 m5 × 10-4
Voie lactée(1,0~1,5) × 1012 M0,31~0,47 al~ 50 000 al(6~10) × 10−6
Soleil2 × 1030 kg = M3 × 103 m6,96 × 108 m5 × 10-6
Jupiter
Terre6 × 1024 kg0,008 8 m6,378 × 106 m7 × 10-10
.
En remplaçant la densité critique par son expression en fonction de la constante de Hubble H, il vient :
.
La taille de l'univers visible étant de l'ordre du rayon de Hubble c / H (voir Horizon cosmique), la compacité est de l'ordre de 1. Elle est même supérieure à 1, la taille de l'univers observable étant en réalité bien plus grande que le rayon de Hubble, l'expansion de l'Univers ayant éloigné de nous les objets célestes bien au-delà de la distance à laquelle nous les voyons. Par ailleurs, il faut noter que la taille de l'univers observable est elle-même variable, en constante expansion, son rayon augmentant par construction à la vitesse c. Le fait que la compacité de l'univers soit de l'ordre de 1 est intimement lié au fait que du fait de l'expansion de l'Univers, celui-ci possède souvent un horizon, et par certains côtés présente certaines propriétés communes avec un trou noir.

Notes et références

  1. Entrée « compacité (2) », dans Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Université, , p. 92, en ligne sur books.google.fr
  2. Frédéric Vincent (thèse de doctorat en astronomie et astrophysique, dirigée par Guy Perrin et Éric Gourgoulhon et soutenue publiquement le 8 juillet 2011 à l'observatoire de Meudon), Étude d'effets relativistes en champ gravitationnel fort : Simulations d'observations du centre galactique par l'instrument GRAVITY, Paris, Observatoire de Paris, coll. « École doctorale Astronomie et Astrophysique d'Île-de-France », 236 p. (résumé, lire en ligne [PDF]), p. 15, lire en ligne sur hal-univ-diderot.archives-ouvertes.fr (consulté le 8 juillet 2014)
  3. Éric Gourgoulhon, Objets compacts, Paris, Observatoire de Paris, universités Paris VI, Paris VII et Paris XI, coll. « École doctorale d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France », 2001-2002, 138 p. (lire en ligne), chap. 1 (« Introduction »), p. 4
  4. (de) Entrée « Kompaktheit » dans (consulté le 7 juillet 2014)
  5. (en) Rémi Hakim, An Introduction to Relativistic Gravitation, Cambridge, Cambridge University Presse, , p. 95, lire en ligne sur Google Livres (consulté le 7 juillet 2014)
  6. Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, p. 200.
  7. sect._3,_§ 3.2-7" class="mw-reference-text">Li 2018, sect. 3, § 3.2, p. 27.
  8. col. 1§ 26.2.2-8" class="mw-reference-text">Sathyaprakash 2014, § 26.2.2, p. 559, col. 1.
  9. chap. 1er,_sect._1.2,_§ 1.2.4-9" class="mw-reference-text">Shibata 2015, chap. 1er, sect. 1.2, § 1.2.4, p. 15.
  10. chap. 4,_sect._4.3,_§ 4.3.2-10" class="mw-reference-text">Schaffner-Bielich 2020, chap. 4, sect. 4.3, § 4.3.2, p. 74.
  11. introd.-11" class="mw-reference-text">Schaffner-Bielich 2020, introd., p. 3.

Voir aussi

Bibliographie

Document utilisé pour la rédaction de l’article : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Articles connexes

Liens externes

  • [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introduction à la relativité générale donné en 2e année du master recherche « Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale » de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France, année universitaire -), Paris, observatoire de Paris, , 1 vol., 341, fig., 21 × 29,7 cm (lire en ligne [PDF]), chap. 3, sect. 3.2, § 3.2.3 (« Paramètre de compacité »), p. 56-58.
  • (de) « Kompaktheit »
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