Caractère d'un groupe fini

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini d'ordre g, ℂ le corps des nombres complexes, ℂ* le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls et U_g le sous-groupe des g racines g-ièmes de l'unité. Le groupe G est noté multiplicativement et l'inverse d'un élément s de G est noté s⁻¹. Le conjugué d'un nombre complexe z est noté z.

• Un caractère de G est un morphisme de groupes de G dans ℂ*.

Un caractère correspond donc à un cas particulier de représentation d'un groupe fini : c'est le caractère d'une représentation complexe de degré 1 de ce groupe.

• L'ensemble des caractères de G est appelé groupe dual de G et est généralement noté Ĝ.

Sa structure de groupe sera élucidée au paragraphe suivant.

• Tout caractère de G prend ses valeurs dans le sous-groupe U_g des racines g-ièmes de l'unité.

En effet, un « théorème de Lagrange » indique que si s est un élément de G, alors s^g = 1 ; on en déduit que l'image de s par un caractère est une racine g-ième de l'unité.

• Un caractère χ vérifie :

${\displaystyle \forall s\in G\quad \chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}}.}$

Ceci se déduit de la propriété précédente, ou des propriétés de tout caractère d'un groupe compact.

• La multiplication confère au dual de G une structure de groupe abélien fini.

En effet, le dual de G est un cas particulier d'ensemble de morphismes de G dans un groupe abélien H (avec ici H = U_g). Or un tel ensemble est toujours un groupe abélien, comme sous-groupe du groupe abélien produit H^G (constitué des applications de G dans H et muni de la multiplication par valeurs dans H). De plus, si G et H sont finis alors H^G aussi.

• Considérons le cas où G est le groupe symétrique d'indice n. L'application signature est un caractère à valeurs dans U₂ = {–1, 1}.
• Le dual d'un groupe cyclique d'ordre g est isomorphe au groupe U_g (lui aussi cyclique d'ordre g). En effet, si x est un générateur de G, le morphisme canonique d'évaluation en x, de Ĝ dans U_g, qui à tout caractère χ associe le complexe χ(x), est bijectif (cette bijectivité se démontre exactement comme dans l'étude des endomorphismes d'un groupe cyclique).

• Le dual d'un groupe abélien fini G est isomorphe à G.

Ce résultat se déduit du cas cyclique à l'aide du théorème de Kronecker, selon lequel un groupe abélien fini est un produit fini de groupes cycliques, et de la propriété universelle d'un tel produit :

Soient (G_i) une famille de groupes et H un groupe abélien. Le groupe des morphismes de ∑ G_i dans H est canoniquement isomorphe au produit des groupes Hom(G_i,H).

De manière analogue aux espaces vectoriels de dimension finie, l'isomorphisme entre un groupe abélien fini G et son dual n'est pas canonique, mais il existe un isomorphisme canonique entre G et son bidual (c'est-à-dire le dual de son dual).

• Le morphisme injectif canonique ${\displaystyle \varphi }$ de G dans son bidual, défini par l'égalité suivante, est un isomorphisme si G est un groupe abélien fini ${\displaystyle \forall s\in G\quad \forall \chi \in {\widehat {G}}\quad \varphi (s)(\chi )=\chi (s).}$

En effet, G et son bidual ont alors même ordre.

Dans le cadre d'un groupe abélien fini, il est possible de définir la transformée de Fourier et le produit de convolution. La théorie de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est analogue à celle du corps des réels. On démontre l'égalité de Parseval, le théorème de Plancherel, la dualité de Pontryagin et la formule sommatoire de Poisson.

Le dual de G est inclus dans l'espace vectoriel ℂ^G des applications de G dans ℂ. Cet espace est muni d'un produit hermitien < | > défini par la formule suivante :

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {C} ^{G}\quad \langle x|y\rangle ={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}{\overline {x(s)}}y(s).}$

• Le groupe dual de G est une famille orthonormée.
• Si G est abélien, le groupe dual de G est une base de ℂ^G.

Ces deux propositions correspondent à des cas particuliers de la théorie des représentations d'un groupe fini, ou plus généralement d'un groupe compact ; elles se démontrent simplement dans le cas présent :

Démonstration

• Le groupe dual de G est une famille orthonormée.

Remarquons d'abord que pour tous caractères χ₁ et χ₂, <χ₁|χ₂>=<1|χ₁χ₂> = <1|χ₁^-1χ₂>, et que <1|1> = 1. Il reste donc à démontrer que pour tout caractère χ différent de 1, <1|χ> est nul. Pour tout t∈G on a

${\displaystyle \chi (t)<1|\chi >=\chi (t){\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi (s)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi (ts)={\frac {1}{g}}\sum _{u\in G}\chi (u)=<1|\chi >.}$En choisissant t tel que χ(t) ≠ 1, on en déduit que <1|χ> est nul.

• Si G est abélien, le groupe dual de G est une base de ℂ^G.

Le groupe dual est une famille orthonormée donc libre. Si le groupe G est abélien, l'ordre de son groupe dual est égal à celui de G donc à la dimension de l'espace vectoriel ℂ^G.

(Si G n'est pas abélien, le dual de G, qui s'identifie canoniquement au dual de l'abélianisé G_ab, est seulement une base du sous-espace – isomorphe à ℂ^G_ab – constitué des applications de G dans ℂ qui se factorisent par G_ab : les fonctions centrales.)

• Dans l'algèbre complexe ℂ[G] du groupe fini, constituée de l'espace ℂ^G muni du produit de convolution, le centre est constitué des fonctions centrales donc il contient le dual de G.
• On peut par ailleurs remarquer que l'espace vectoriel ℂ^G s'identifie naturellement à son dual : toute application de G dans ℂ se prolonge de manière unique en une forme linéaire sur ℂ^G. Dans cette identification, les caractères de G correspondent aux caractères de l'algèbre involutive ℂ[G], c'est-à-dire aux morphismes non nuls de ℂ[G] dans ℂ.

• Michel Demazure, Cours d'algèbre : primalité, divisibilité, codes [détail des éditions]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
• André Warusfel, Structures algébriques finies, Hachette, 1971
• Gabriel Peyré, L'algèbre discrète de la transformée de Fourier, Ellipses, 2004

Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier, C. Bachoc, Université Bordeaux I