Calcul
Nous intégrerons en coordonnées cartésiennes orthonormales dans l'espace euclidien.
Notons le volume de la boule de rayon r en dimension n â„ 1.
Alors :
parce que c'est la longueur d'un segment deux fois plus long que le rayon, i.e.
- :|x|\leq r\}=[-r,r].}
La sphĂšre de dimension 0 qui borde cette boule est constituĂ©e des deux points r et âr.
Pour tout n ℠1 nous avons (d'aprÚs le théorÚme de Fubini)[1] :
Le volume est proportionnel Ă la n-iĂšme puissance du rayon
Nous montrerons premiÚrement par récurrence sur n que le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-iÚme puissance de son rayon. Nous avons déjà observé que c'est vrai en dimension 1. Supposons maintenant que ce soit vrai en dimension n, i.e. :
Alors,
Nous avons Ă©tabli que pour tout n â„ 1, le volume d'une n-boule est proportionnel Ă la n-iĂšme puissance de son rayon ; c'est-Ă -dire que si nous notons le volume de la n-boule unitaire, nous avons :
Deux ou trois dimensions
Dans le cas de nous avons[2] :
qui est « l'aire intérieure du cercle unité », ou plus exactement, l'aire du disque borné par ce cercle. On en déduit facilement :
Ceci est « le volume intérieur de la sphÚre unité », ou plus exactement, le volume de la boule délimitée par cette sphÚre.
Cas général
Essayons maintenant de généraliser cette démonstration au cas de la boule en dimension supérieure :
Voici un graphe de la fonction que nous avons intégrée ici, pour rendre plus facile la visualisation de cette fonction dans plusieurs dimensions :
Les hyperboules se pincent de plus en plus comme la dimension croßt. (Plus précisément, puisque nous intégrons en coordonnées rectangulaires, et que les boßtes rectangulaires circonscrites aux boules s'étendent de plus en plus hors des boules comme la dimension croßt, les boules nous paraissent de plus en plus pincées au point de vue des coordonnées dans lesquelles nous intégrons.)
Par le changement de variables nous avons :
L'intĂ©grale Ă droite est connue comme la fonction bĂȘta :
qui peut ĂȘtre exprimĂ©e au moyen de la fonction gamma :
à partir de la relation nous pouvons facilement vérifier par récurrence que pour tout n ℠1,
Et donc finalement, pour un rayon on aura
Par « dĂ©sintĂ©gration de mesure »[3], l'aire de l'hypersphĂšre de dimension n â 1 est la dĂ©rivĂ©e, par rapport Ă son rayon, du volume de la boule de dimension n qu'elle borde.
Puisque le volume de la boule de dimension n est :
alors l'aire de l'hypersphĂšre de dimension n â 1 qui la borde est :
- .
- Et comme on peut Ă©crire aussi :
RĂ©currence d'ordre 2
à partir de la récurrence d'ordre 1 :
utilisée plus haut directement pour exprimer V(n) en termes de la fonction gamma, une alternative est d'écrire une récurrence d'ordre 2 :
qui, d'aprĂšs les propriĂ©tĂ©s de la fonction bĂȘta, se simplifie en :
Par récurrence (en séparant les cas n pair et impair), on retrouve alors la formule donnée précédemment, qui peut aussi s'écrire :
Par ailleurs, une maniÚre plus directe[4] de démontrer cette formule de récurrence d'ordre 2 est de procéder comme pour celle d'ordre 1 :
la derniÚre égalité venant du passage en coordonnées polaires :
Généralisation
Cette mĂ©thode d'intĂ©gration peut ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©e aux espaces Lp (ce qui prĂ©cĂšde correspond au cas p = 2). En effet, nous avons une relation de rĂ©currence pour la boule unitĂ© de
de laquelle on peut retrouver la formule :
pour le volume de la boule de rayon r dans la mesure de volume étant, comme auparavant, celle de Lebesgue en coordonnées orthonormales. Il n'est plus possible de calculer l'aire de la surface comme la dérivée du volume par rapport au rayon parce que le rayon n'est plus partout normal à la surface.
Cette généralisation a des applications en théorie de l'information, en particulier pour le codage de l'information.