Ballottement

Il est très facile de mettre en évidence le premier mode de ballottement d'un liquide dans un réservoir élancé, en couchant horizontalement une bouteille d'eau à moitié pleine, et en faisant osciller celle-ci autour d'un axe horizontal perpendiculaire à son axe principal de symétrie. À amplitudes d'oscillation fixes, la force nécessaire à l'entretien de ces oscillations est minimale pour une période d'environ 1 seconde, correspondant au temps de propagation aller-retour des vagues à la surface du liquide. Cette fréquence d'environ 1 Hz correspond à la fréquence du premier mode de ballottement longitudinal du liquide dans la bouteille.

La fréquence du premier mode de ballottement mis en évidence dans l'expérience ci-dessus peut être expliquée par un modèle unidimensionnel simple, sous les hypothèses suivantes :

• L'eau est considérée incompressible, et de densité uniforme.
• Les mouvements de la surface sont considérés comme petits par rapport à la profondeur, et l'angle (exprimé en radian) que fait la surface avec l'horizontale est petit devant l'unité.
• On ne considère que les vagues se propageant longitudinalement suivant l'axe du réservoir supposé élancé (une de ses dimensions horizontales est grande devant les autres).
• Les frottements sur le fond du réservoir sont négligés.
• L'eau est en équilibre hydrostatique, la pression à la surface étant prise comme nulle.
• Les vagues se réfléchissent parfaitement sur les parois.

En introduisant les variables suivantes :

x : la variable d'espace dans la direction longitudinale,

g : l'accélération de la pesanteur,

h(x,t) : la hauteur perturbée du liquide au-dessus de la hauteur moyenne h₀, et v(x,t) la vitesse horizontale du liquide,

la conservation des masses s'écrit :

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=-h_{0}\;{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

et la conservation de la quantité de mouvement :

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}=-g\;{\frac {\partial h}{\partial x}}}$

Ces deux équations peuvent être obtenues par linéarisation des équations de Navier-Stokes sous les hypothèses énoncées ci-dessus.

En combinant ces deux équations, on aboutit à l'équation d'onde sur la vitesse v(x,t) et la hauteur h(x,t), la célérité de l'onde étant donnée par :

${\displaystyle c={\sqrt {g\;h_{0}}}}$

Les conditions aux limites de réflexion s'écrivant

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}(0,t)={\frac {\partial h}{\partial x}}(L,t)=0}$

la fréquence des modes longitudinaux de ballottement est donnée par la relation

${\displaystyle f_{n}={\frac {n\;c}{2\;L}}}$

L étant la longueur du réservoir, et n ≥ 1 le numéro du mode considéré.

Ainsi, pour une bouteille d'environ 30 cm de longueur et 8 cm de diamètre, la première fréquence propre est f₁ = 1 Hz.

Un satellite néerlandais, Sloshsat-FLEVO (nl), fut lancé de Kourou, le 12 février 2005 par une fusée Ariane V pour étudier cette dynamique en état d'impesanteur. Il se trouve sur une orbite de transfert géostationnaire et est équipé d'un réservoir, bardé de capteurs, de 87 litres contenant 35 litres d'eau déminéralisée.