Analyse de survie

La fonction de survie ( « Survival function » ), notée S par convention, est définie par :

${\displaystyle S(t)=\mathbb {P} (T>t)}$

où t est la variable temps, T est une variable aléatoire symbolisant le moment du décès, et ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} }$ est la fonction probabilité. La fonction de survie est égale à la probabilité que le décès intervienne après un temps t donné.

La fonction de distribution de longévité, notée F, est définie en complément de la fonction de survie,

${\displaystyle F(t)=\mathbb {P} (T\leq t)=1-S(t)}$

La fonction dérivée de F, qui est la fonction densité de la distribution de longévité, est notée conventionnellement f,

${\displaystyle f(t)=F'(t)={\frac {d}{dt}}F(t).}$

La fonction f est quelquefois appelée la densité évènement ; c'est le taux de mortalité ou d'évènements en échec par unité de temps. La fonction de survie est aussi définie en termes de distribution et de fonction de densité.

${\displaystyle S(t)=\mathbb {P} (T>t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).}$

De manière similaire, une fonction de densité d'évènement de survie peut être définie par :

${\displaystyle s(t)=S'(t)={\frac {d}{dt}}S(t)={\frac {d}{dt}}\int _{t}^{\infty }f(u)\,du={\frac {d}{dt}}[1-F(t)]=-f(t).}$

Le taux de défaillance, ou fonction d'aléa, noté ${\displaystyle \lambda }$ par convention, est défini comme le taux d'évènements (décès, échec...) au temps t connaissant la probabilité de survie, de réussite au temps t ou au-delà,

${\displaystyle \lambda (t)\,dt=\mathbb {P} (t\leq T<t+dt\,|\,T\geq t)={\frac {f(t)\,dt}{S(t)}}=-{\frac {S'(t)\,dt}{S(t)}}.}$

La force de mortalité est un synonyme de Fonction d'aléa qui est utilisée particulièrement en démographie et science actuarielle, où elle est notée ${\displaystyle \mu }$. Le terme taux d'aléa est un autre synonyme.

La fonction d'aléa doit être positive ou nulle, λ(t) ≥ 0, et son intégrale sur ${\displaystyle [0,\infty ]}$ est infinie, mais n'a pas d'autres contraintes; elle peut croître, décroître, être non-monotone, non continue. Un exemple est celui de la fonction de la courbe de la baignoire, qui est grande pour des petites valeurs de t, décroit jusqu'à un minimum, et croit à nouveau ; elle peut modéliser la propriété de quelques systèmes mécaniques de tomber en panne peu de temps après être entré en service, ou bien longtemps après alors que le système a vieilli.

• Estimateur de Kaplan-Meier
• Taux de survie
• Théorie de la fiabilité
• Modèles aléatoires proportionnels
• Régression de Cox
• Taux d'échec
• Loi de fiabilité

• SOCR Survival analysis applet and interactive learning activity.
• Survival/Failure Time Analysis @ Statistics' Textbook Page

• David Collett. Modelling Survival Data in Medical Research, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. 2003. (ISBN 978-1-58488-325-8)
• Regina Elandt-Johnson and Norman Johnson. Survival Models and Data Analysis. New York: John Wiley & Sons. 1980/1999.
• Jerald F. Lawless. Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 2nd edition. John Wiley and Sons, Hoboken. 2003.
• Terry Therneau. "A Package for Survival Analysis in S". http://www.mayo.edu/hsr/people/therneau/survival.ps, at: http://mayoresearch.mayo.edu/mayo/research/biostat/therneau.cfm
• "Engineering Statistics Handbook", NIST/SEMATEK, itl.nist.gov
• Survival Analysis - Commercial Usage http://www.discover-right.com/images/survival_analysis_-_understanding_and_implementation.pdf
• Rausand, M. and Hoyland, A. System Reliability Theory: Models, Statistical Methods, and Applications, John Wiley & Sons, Hoboken, 2004. See web site.
• Richards, S. J. A handbook of parametric survival models for actuarial use. Scandinavian Actuarial Journal informaworld.com