Taux de défaillance

Le taux de défaillance d'un équipement à l'instant t est la limite, si elle existe, du quotient de la probabilité conditionnelle que l'instant T de la (première) défaillance de cet équipement soit compris dans l'intervalle de temps donné [t, t + Δt] par la durée Δt de cet intervalle, lorsque Δt tend vers zéro, en supposant que l'entité soit disponible au début de l'intervalle de temps[1].

Il permet de quantifier le risque en termes de probabilité qu'une entité qui fonctionne correctement depuis la durée t tombe en panne subitement à l'instant suivant t + dt.

Le taux de défaillance s'exprime en FIT.

En anglais, le taux de défaillance se dit failure rate ; lorsqu'il se modélise par une fonction continue, on parle de hazard function (litt. fonction de danger, de péril).

Considérons une population de N équipements, mis en service à l'instant 0. À l'instant t, il reste R(t)×N équipements en service ; la proportion R(t) est la fonction de survie de l'équipement considéré. Cette fonction R(t) est la probabilité de n'avoir connu aucune défaillance jusqu'à l'instant t.

La densité de probabilité ƒ(t) d'avoir une défaillance dans la population restante vaut donc :

ƒ(t) = R(t)×λ(t)

comme la probabilité de défaillance représente la variation (négative) de la population, on a aussi :

${\displaystyle f(t)=-{\frac {\mathrm {d} \mathrm {R} }{\mathrm {d} t}}}$

et donc :

${\displaystyle \lambda (t)=-{\frac {1}{\mathrm {R} }}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {R} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} (\ln \mathrm {R} )}{\mathrm {d} t}}}$

Ramené à une unité, R est également la probabilité qu'un équipement soit encore en fonctionnement à l'instant t, donc qu'il ait une durée de vie T supérieure à t. On a

${\displaystyle \mathrm {R} (t)=\mathbb {P} (\mathrm {T} >t)=1-\mathbb {P} (\mathrm {T} \leq t)=1-\mathrm {F} (t)}$.

D'après la définition du taux de défaillance λ(t) à l'instant t donnée plus haut, on a :

${\displaystyle \lambda (t)=\lim \nolimits _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathbb {P} (\mathrm {T} \leq t+\mathrm {d} t|\mathrm {T} >t)}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \lambda (t)=\lim \nolimits _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathbb {P} (\mathrm {T} \in [0,t+\mathrm {d} t]|\mathrm {T} \in ]t,+\infty [)}{\mathrm {d} t}}}$

En utilisant les formules de probabilité conditionnelle :

${\displaystyle \lambda (t)=\lim \nolimits _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathbb {P} (\mathrm {T} \in [0,t+\mathrm {d} t]\cap \mathrm {T} \in ]t,+\infty [)}{\mathrm {d} t\cdot \mathbb {P} (\mathrm {T} \in ]t,+\infty [)}}}$

${\displaystyle \lambda (t)=\lim \nolimits _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathbb {P} (\mathrm {T} \in ]t,t+\mathrm {d} t])}{dt\cdot \mathbb {P} (\mathrm {T} \in ]t,+\infty [)}}}$

${\displaystyle \lambda (t)=\lim \nolimits _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {1}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathbb {P} (\mathrm {T} \in [0,t+\mathrm {d} t])-\mathbb {P} (\mathrm {T} \in [0,t])}{1-\mathbb {P} (\mathrm {T} \in [0,t])}}}$

${\displaystyle \lambda (t)=\lim \nolimits _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {1}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {F} (t+\mathrm {d} t)-\mathrm {F} (t)}{1-\mathrm {F} (t)}}}$

${\displaystyle \lambda (t)=\lim \nolimits _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {1}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {R} (t)-\mathrm {R} (t+\mathrm {d} t)}{\mathrm {R} (t)}}}$

${\displaystyle \lambda (t)={\frac {-\mathrm {R} '(t)}{\mathrm {R} (t)}}}$

• Temps moyen entre pannes
• Fiabilité
• Sûreté de fonctionnement
• Force de mortalité