Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction

La méthode de dichotomie est l'algorithme le plus simple pour trouver des zéros d'une fonction continue : commencer avec deux points a et b qui encadrent un zéro de la fonction, et à chaque itération, choisir l’un des deux intervalles [a, c] ou [c, b], c = ^{(a + b)}⁄₂ étant le milieu de a et b. L’algorithme repose sur le choix du sous-intervalle de [a, b] qui contient un zéro. Dans la plupart des cas, la méthode de dichotomie garantit la convergence vers un zéro lorsque la fonction est continue. Sa progression dans la recherche est plutôt lente, puisque sa vitesse de convergence est linéaire. Une des particularités de cet algorithme est qu'il est possible de connaître à l'avance le nombre d'itérations nécessaires pour déterminer la racine de l'équation avec la précision souhaitée.

La méthode de Newton, appelée aussi méthode de Newton-Raphson, suppose que f est de classe C¹. On « linéarise » la fonction f en la valeur approchée courante du zéro, en utilisant la dérivée de la fonction. Cela donne la relation de récurrence :

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}.}$

La méthode de Newton peut ne pas converger si la valeur initiale est trop loin d’un zéro. Cependant, si elle converge, elle est beaucoup plus rapide que la méthode de dichotomie (sa vitesse de convergence est quadratique). Elle peut aisément se généraliser à des problèmes en dimensions supérieures.

Si la dérivée de la fonction dans la méthode de Newton est remplacée par une différence finie, nous obtenons la méthode de la sécante. Elle utilise la relation récurrente :

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}f(x_{n})}$.

Cette méthode ne requiert pas le calcul d’une dérivée, mais c’est au prix d’une vitesse de convergence plus lente que celle de Newton (de l’ordre de 1,618). Cependant, comme elle ne nécessite qu'une évaluation de fonction par itération, elle se révèle en général plus rapide que la méthode de Newton. Sa généralisation en dimension supérieure à 1 est la méthode de Broyden (en).

La méthode de la fausse position, aussi appelée méthode de regula falsi, s’apparente à la méthode de dichotomie. Cependant, elle ne coupe pas l’intervalle en deux parts égales à chaque itération, mais en un point donné par la formule de la méthode de la sécante. Cette méthode hérite de la robustesse de la méthode de dichotomie et de la complexité « super-linéaire » de la méthode de la sécante.

La méthode de la sécante évalue la racine de la fonction f en l'approximant par interpolation linéaire. La méthode de Muller évalue la racine par interpolation quadratique à l'aide des trois derniers points calculés. Elle converge plus rapidement que la méthode de la sécante (ordre de convergence de 1,84). Elle nécessite l'évaluation d'une racine carrée à chaque itération. Une particularité de cette méthode est que le terme itéré x_n peut devenir complexe.

L'inconvénient de la méthode de Müller peut être évité par l'interpolation de la bijection réciproque de f, ce qui mène à la méthode de l'interpolation quadratique inverse. Encore une fois, la convergence est asymptotiquement plus rapide que la méthode de la sécante, mais elle se comporte souvent mal quand les itérés ne sont pas proches du zéro.

La méthode de Brent est une combinaison de la méthode de dichotomie, de la méthode de la sécante et de l’interpolation quadratique inverse. À chaque itération, cette méthode décide de laquelle de ces trois méthodes est susceptible d’approcher au mieux le zéro, et effectue une étape en utilisant cette méthode. Cela donne une méthode robuste et rapide, très populaire et très appréciée.

D’autres algorithmes de recherches de zéros sont :

• méthode du point fixe : l'équation f(x) = 0 est reformulée sous la forme x = g(x) où g est choisie de telle sorte que toute suite (x_n) donnée par x_n+1 = g(x_n) converge vers un zéro de f.

• Algorithme de calcul de la racine n-ième d'un réel positif.
• Méthode du cercle de séparation
• Méthode de Dandelin-Gräffe (en)
• Théorème de Sturm

• Méthode de point fixe et vitesse de convergence http://www.math-linux.com
• Méthode de Newton http://www.math-linux.com
• (en) Numerical Recipes Homepage