Variété parallélisable

Une variété différentielle M de classe C^k est dite parallélisable si son fibré tangent est trivial, c'est-à-dire isomorphe, en tant que fibré vectoriel, à $M\times E$ , où $E$ est un espace vectoriel de dimension $dim\,M$

Il revient au même de dire qu'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle $\omega \in \Lambda ^{1}\left(M^{*},E\right)=\{\omega :TM\longrightarrow E{\text{ , de classe }}C^{k-1}{\text{et linéaire sur chaque }}T_{x}M\}$ telle que pour tout $x\in M$ , $\omega _{x}:T_{x}M\longrightarrow E$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels ;

ou encore qu'il existe $n$ champs de vecteurs linéairement indépendants en tout point de M, autrement dit un champ de repères.

Un isomorphisme de fibrés vectoriels entre $TM$ et $M\times \mathbb {R} ^{dimM}$ s'appelle un parallèlisme.

Propriétés

Comme toute variété est localement difféomorphe à $\mathbb {R} ^{n}$ , pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable.
Il s'agit donc d'une propriété globale.

Une variété parallélisable est orientable : un champ de repères fournit gratuitement une orientation.

Si elle est compacte, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle, d'après le théorème de Poincaré-Hopf.

Exemples et contre-exemples

Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable. C'est la seule variété compacte de dimension 2 parallélisable, puisque c'est la seule surface orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle.

La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable, d'après le théorème de Poincaré-Hopf, ou plus simplement d'après le théorème de la boule chevelue, qui assure que tout champ de vecteurs sur $S^{2}$ admet un zéro au moins.

Tout groupe de Lie est une variété parallélisable ; c'est en particulier le cas de la 3-sphère, en tant que groupe des unités des quaternions.

L'exemple de $S^{3}$ est commun à deux situations plus générales :

les seules sphères parallélisables sont

S^{1},\,S^{3}\ {\text{et}}\ S^{7}

[1] ;

toute variété orientable de dimension 3 est parallélisable.

Voir aussi

Fibré tangent

Références

R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87-89

Sources

Paul Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann Éditeur, 1972
Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences, 2015, p. 113-115.

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