Théorème de Poincaré-Hopf

Théorème — Soit ${\displaystyle M}$ une variété différentielle compacte. Soit ${\displaystyle v}$ un champ vectoriel sur ${\displaystyle M}$ avec des zéros isolés. Si ${\displaystyle M}$ a un bord, ${\displaystyle v}$ doit pointer dans la direction normale extérieure le long du bord. Nous avons alors la formule suivante :

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{v}(x_{i})=\chi (M)}$

où la somme est celle des indices de tous les zéros isolés de ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle \chi (M)}$ est la caractéristique d'Euler de ${\displaystyle M}$.