Variété hyperbolique

Une n-variété hyperbolique est une n-variété riemannienne de courbure sectionnelle constante et égale à –1. Plus précisément, toute n-variété connexe et simplement connexe de courbure négative constante (et égale à –1) est isométrique à l'espace hyperbolique ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$.

Il en résulte que le revêtement universel de toute variété V de courbure négative constante est l'espace hyperbolique ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$, et V peut alors s'écrire ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma }$, où Γ est un groupe discret d'isométries de ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$, c'est-à-dire un sous-groupe discret de SO⁺(1, n) ; V est de volume fini si et seulement si Γ est un réseau.

• Lemme de Margulis (en)
• Théorème d'hyperbolisation (en)
• Variété invariante normalement hyperbolique (en)

• (en) Michael Kapovich, Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups, Boston, Birkhäuser, coll. « Modern Birkhäuser Classics », 2001, 470 p. (ISBN 978-0-8176-4912-8, DOI 10.1007/978-0-8176-4913-5, MR 1792613)
• (en) Colin Maclachlan et Alan W. Reid, The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Springer-Verlag, coll. « GTM » (n^o 219), 2003, 463 p. (ISBN 978-0-387-98386-8, DOI 10.1007/978-1-4757-6720-9, MR 1937957, présentation en ligne)
• (en) John G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Berlin, New York, coll. « GTM » (n^o 149), 1994 (réimpr. 2006), 782 p. (ISBN 978-0-387-33197-3, DOI 10.1007/978-0-387-47322-2, MR 2249478, lire en ligne)
• (en) Frank Nielsen et Richard Nock, « Hyperbolic Voronoi diagrams made easy », dans Proc. ICCSA 2010, IEEE, 2010 (DOI 10.1109/ICCSA.2010.37, arXiv 0903.3287), p. 74-80