Valeur d'adhérence

Soient (u_n)_n∈ℕ une suite réelle et y un nombre réel, on dit que y est une valeur d'adhérence de (u_n) si

pour tout réel ${\displaystyle \varepsilon >0}$, l'ensemble ${\displaystyle \left\{n\in \mathbb {N} \mid |u_{n}-y|<\varepsilon \right\}}$ est infini

ou, ce qui est équivalent, si

pour tout réel ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ${\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} \quad \exists n\geq N\quad |u_{n}-y|<\varepsilon }$.

Le fait que ℝ est un espace métrique permet de caractériser plus simplement les valeurs d'adhérence d'une suite réelle (voir infra) : y est une valeur d'adhérence de (u_n) si et seulement si

il existe une sous-suite de (u_n) qui converge vers y.

• La suite ((–1)ⁿ) admet 1 et –1 comme valeurs d'adhérence. En effet, les termes pairs sont constants à 1 et les termes impairs constants à –1.
• La suite (sin(n)) admet l'intervalle [–1, 1] comme ensemble de valeurs d'adhérence. Ceci résulte du fait que ℤ + 2πℤ est dense dans ℝ.
• La suite ((–1)ⁿn) n'admet pas de valeur d'adhérence dans ℝ. Mais dans la droite réelle achevée, la même suite admet +∞ et –∞ comme valeurs d'adhérence.
• La suite ((–1)ⁿn + n) admet 0 comme unique valeur d'adhérence mais ne converge pas. Dans la droite réelle achevée, la même suite admet +∞ et 0 comme valeurs d'adhérence.

Intuitivement, la suite repasse aussi près que l'on veut de la valeur d'adhérence pour des indices arbitrairement grands. (C'est une condition plus forte que de demander que y soit adhérent à l'image de la suite, i.e. à {u_n, n ≥ 0}.)

Une condition évidemment suffisante mais non nécessaire est que tout voisinage de y contienne une infinité[1] de valeurs de la suite, c'est-à-dire que y soit un point d'accumulation de l'image.

Une autre condition suffisante est l'existence d'une sous-suite de (u_n) qui converge vers y[2]. Cette dernière condition est également nécessaire si l'espace E est métrisable[3] ou plus généralement à bases dénombrables de voisinages[4].

Plus généralement[5], si f est une application d'un ensemble A dans un espace topologique E et si ℱ est un filtre sur A, on dit qu'un élément y de E est une valeur d'adhérence de f suivant ℱ s'il est adhérent au filtre image, c'est-à-dire si y est adhérent aux images par f de tous les éléments de ℱ. Le cas des suites correspond au filtre de Fréchet sur ℕ. Un autre cas important[6] est celui du filtre des voisinages d'un point a de A, si A est muni d'une topologie : on dit alors que y est une valeur d'adhérence de f au point a (si a est seulement un point adhérent à A dans un espace topologique ambiant, on remplace les voisinages de a par leur trace sur A[7]).

• Les valeurs d'adhérence au point 0 de la fonction numérique x ↦ sin(1/x) sont tous les réels compris entre –1 et 1 (voir Courbe sinus du topologue).
• Dans l'espace d'Arens-Fort — qui est l'ensemble ℕ² muni d'une topologie particulière — le point (0, 0) est valeur d'adhérence de toute suite exhaustive d'éléments de ℕ²\{(0, 0)} mais n'est limite d'aucune sous-suite.