Transformée de Wigner-Weyl

La transformée de Weyl (ou quantification de Weyl) de la fonction f est donnée par l'opérateur suivant dans l'espace de Hilbert[5] :

$${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iiiint f(q,p)\left(e^{i(a({\widehat {Q}}-q)+b({\widehat {P}}-p))}\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b}$$

Si l'on calcule d'abord les intégrales sur les variables ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ dans la formule ci-dessus, ceci revient à calculer la transformée de Fourier ordinaire ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ de la fonction ${\displaystyle f}$, qui n'implique pas l'opérateur ${\displaystyle e^{i(a{\widehat {Q}}+b{\widehat {P}})}}$. La transformée de Weyl peut donc s'écrire[6] :

$${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{ia{\widehat {Q}}+ib{\widehat {P}}}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b}$$

La transformation de Weyl peut donc s'interpréter comme suit : on prend la transformée de Fourier ordinaire de la fonction ${\displaystyle f(p,q)}$, puis dans le calcul de la transformée inverse les opérateurs quantiques ${\displaystyle {\widehat {P}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {Q}}}$ sont substitués aux variables classiques originales ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, obtenant ainsi une version quantique de ${\displaystyle f}$. Une autre forme moins symétrique, mais pratique pour les applications, est la suivante,

$${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} {\tilde {x}}\,\mathrm {d} {\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|}$$

où ${\displaystyle \langle {\tilde {p}}|}$ et ${\displaystyle |{\tilde {x}}\rangle }$ sont respectivement les opérateurs bra et ket dans la notation de Dirac.

La transformée de Weyl peut alors également être exprimée en termes d'éléments de matrice des noyaux intégraux de cet opérateur[7] :

$${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right)}$$

L'inverse de la transformée inverse de Weyl ci-dessus est la transformée de Wigner, qui ramène l'opérateur ${\displaystyle \Phi }$ à la fonction originale ${\displaystyle f}$ de l'espace des phases,

$${\displaystyle f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .}$$

Par exemple, la fonction de Wigner de l'opérateur de la distribution thermique de l'oscillateur ${\displaystyle \exp(-\beta ({\widehat {P}}^{2}+{\widehat {Q}}^{2})/2)}$ est[5]

$${\displaystyle \exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh({\frac {\beta \hbar }{2}})\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh({\frac {\beta \hbar }{2}})(p^{2}+q^{2})/2\right).}$$

Noter l'expression ${\displaystyle \exp _{\star }}$ qui sera discutée plus bas.

Si l'on remplace ${\displaystyle \Phi [f]}$ dans l'expression ci-dessus par un opérateur arbitraire, la fonction résultante f peut dépendre de la constante de Planck ${\displaystyle \hbar }$, et peut bien décrire des processus de mécanique quantique, à condition qu'elle soit correctement calculée avec le produit étoile, (voir les produits de Moyal[8] ci-dessous). Réciproquement, la transformée de Weyl de la fonction de Wigner est résumée par la formule de Groenewold[5],

$${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{ia{\widehat {Q}}+ib{\widehat {P}}}\operatorname {Tr} (e^{-ia{\widehat {Q}}-ib{\widehat {P}}}\Phi ).}$$

Bien que les formules ci-dessus fournissent une bonne compréhension de la quantification de Weyl d'une observable très générale dans l'espace des phases, elles ne sont pas très pratiques pour le calcul des observables simples, telles que les polynômes des variables ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle p}$. Dans les sections suivantes, nous verrons que pour de tels polynômes, la quantification de Weyl représente l'ordre totalement symétrique des opérateurs non commutatif ${\displaystyle {\widehat {Q}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {P}}}$. Par exemple, la fonction de Wigner de l'opérateur ${\displaystyle L^{2}}$, carré du moment angulaire quantique, n'est pas seulement le moment angulaire classique au carré, mais elle contient en outre un terme de décalage ${\displaystyle {\frac {-3\hbar ^{2}}{2}}}$, qui tient compte du moment angulaire non nul de l'état fondamental.

L'action de la quantification de Weyl sur les fonctions polynomiales de ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle p}$ est entièrement déterminée par la formule symétrique suivante[9] :

$${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (a{\widehat {Q}}+b{\widehat {P}})^{n}}$$

quels que soient les nombres complexes ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. La quantification de Weyl sur une fonction de la forme ${\displaystyle q^{k}p^{l}}$ donne la moyenne de tous les permutations possibles de ${\displaystyle k}$ facteurs de ${\displaystyle {\widehat {Q}}}$ et de ${\displaystyle l}$ facteurs de ${\displaystyle {\widehat {P}}}$. Par exemple, nous avons :

$${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~{\widehat {P}}^{2}{\widehat {Q}}^{2}+{\widehat {Q}}^{2}{\widehat {P}}^{2}+{\widehat {P}}{\widehat {Q}}{\widehat {P}}{\widehat {Q}}+{\widehat {P}}{\widehat {Q}}^{2}{\widehat {P}}+{\widehat {Q}}{\widehat {P}}{\widehat {Q}}{\widehat {P}}+{\widehat {Q}}{\widehat {P}}^{2}{\widehat {Q}}}$$

Bien que ce résultat soit conceptuellement naturel, il n'est pas pratique pour les calculs lorsque ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle l}$ sont grands. Dans de tels cas, nous pouvons utiliser à la place la formule de McCoy[10] :

$${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}{\widehat {Q}}^{r}{\widehat {P}}^{m}{\widehat {Q}}^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}{\widehat {P}}^{s}{\widehat {Q}}^{n}{\widehat {P}}^{m-s}}$$

Cette expression semble donner une réponse différente pour le cas ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ de l'expression totalement symétrique ci-dessus. La contradiction n'est qu'apparente, car les relations de commutation canoniques permettent plusieurs expressions pour le même opérateur. (Par exemple, on peut utiliser les relations de commutation pour réécrire la formule précédente totalement symétrique pour ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ sous la forme d'une combinaison de termes ${\displaystyle {\widehat {P}}^{2}{\widehat {Q}}^{2}}$, ${\displaystyle {\widehat {Q}}{\widehat {P}}^{2}{\widehat {Q}}}$, et ${\displaystyle {\widehat {Q}}^{2}{\widehat {P}}^{2}}$ et vérifier ainsi la première expression de la formule de McCoy avec ${\displaystyle m=n=2}$ ).

Il est largement admis que la quantification de Weyl, parmi tous les schémas de quantification, se rapproche le plus possible de la transformation du crochet de Poisson classique en un commutateur quantique. (Une correspondance exacte est impossible selon le théorème de Groenewold). Par exemple, Moyal a montré le théorème suivant :

où ${\displaystyle [~]}$ représente les crochets de Moyal (voir infra).

Les propriétés suivantes de la quantification de Weyl sont établies

• Si f est une fonction à valeurs réelles, alors son image par la transformation de Weyl ${\displaystyle \Phi [f]}$ est auto-adjointe (voir la définition des opérateurs adjoints).
• Si f est un élément de l'espace de Schwartz (fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées à tous les ordres) alors ${\displaystyle \Phi [f]}$ est un opérateur de classe trace.
• Plus généralement, ${\displaystyle \Phi [f]}$ est un opérateur non borné densément défini.
• L'application ${\displaystyle \Phi [f]}$ est biunivoque sur l'espace de Schwartz (en tant que sous-espace des fonctions de carré sommables).

• Case, « Wigner Functions and Weyl Transforms for Pedestrians », American Journal of Physics, vol. 76, n^o 10,‎ octobre 2008, p. 937–946 (DOI 10.1119/1.2957889, Bibcode 2008AmJPh..76..937C).

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