Variété de Poisson

Soit ${\displaystyle M}$ une variété différentielle. Soit ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ l'algèbre des fonctions de classe ${\displaystyle {C^{\infty }}}$ de ${\displaystyle M}$ à valeurs réelles, où la multiplication est définie point par point. Un crochet de Poisson sur ${\displaystyle M}$ est une application ${\displaystyle \mathbb {R} }$-bilinéaire

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

vérifiant les trois axiomes:

• Antisymétrie: ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$.
• Relation de Jacobi: ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$.
• Formule de Leibniz: ${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$.

Les deux premiers axiomes assurent que ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ définit une structure d'algèbre de Lie sur ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$, tandis que le troisième assure que pour tout fonction ${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$, son adjoint ${\displaystyle \{f,\cdot \}\colon {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$ est une dérivation de ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$, c'est-à-dire qu'il constitue un champ de vecteurs ${\displaystyle X_{f}}$. Il s'ensuit que le crochet ${\displaystyle \{f,g\}}$ des fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ est de la forme

${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$,

où ${\displaystyle \pi \in \Gamma {\Big (}\bigwedge ^{2}TM{\Big )}}$ est un champ de bivecteurs lisse, appelé tenseur de Poisson.

Réciproquement, étant donné un champ de bivecteurs lisse ${\displaystyle \pi }$ sur ${\displaystyle M}$, la formule ${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$ définit un crochet bilinéaire antisymétrique ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ qui vérifie automatiquement la règle de Leibniz.

• Toute variété peut être munie d'une structure de Poisson triviale par la formule ${\displaystyle \{f,g\}=0}$.
• Toute variété symplectique ${\displaystyle (M,\omega )}$ dispose naturellement d'une structure de Poisson, dont le tenseur ${\displaystyle \pi }$ est défini comme l'inverse de la forme symplectique ${\displaystyle \omega }$. On peut noter qu'avec une telle définition, la fermeture de la forme symplectique est équivalente à l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson associé.
• Le dual ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ d'une algèbre de Lie ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$ est une variété de Poisson. Une description globale du crochet est la suivante: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est en bijection naturelle avec les fonctions linéaires sur ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, on définit alors ${\displaystyle \{f,g\}(x){\stackrel {\text{def}}{=}}<x,[{\text{d}}_{x}f,{\text{d}}_{x}g]>}$ pour tous ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}({\mathfrak {g^{*}}})}$ et ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}}$.

Si ${\displaystyle (M,\{\cdot ,\cdot \}_{M})}$ et ${\displaystyle (M',\{\cdot ,\cdot \}_{M'})}$ sont deux variétés de Poisson, une application lisse ${\displaystyle \varphi :M\to M'}$ est un morphisme de Poisson s'il respecte la structure de Poisson, c'est-à-dire que pour tout ${\displaystyle x\in M}$ et toute fonction ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M')}$, on a:

${\displaystyle {\{f,g\}_{M'}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x).}$

En termes de tenseurs de Poisson, cette condition revient à dire que ${\displaystyle \pi _{M}}$ n'est autre que le tiré en arrière de ${\displaystyle \pi _{M'}}$ par ${\displaystyle \varphi }$.

Les variétés de Poisson forme les objets d'une catégorie ${\displaystyle {\mathfrak {Poiss}}}$, dont les morphismes de Poisson sont les flèches.

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