Théorèmes de Picard

• Le « sauf peut-être un » dans ces énoncés est nécessaire, comme le montrent les exemples suivants. La fonction entière ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{z}}$ (l'exponentielle complexe) ne s'annule pas. Elle possède même une singularité essentielle en l'infini (c'est une fonction transcendante). La fonction ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{1/z}}$ est un exemple de fonction ne s'annulant pas avec singularité essentielle bornée (au point ${\displaystyle 0}$).
• Le cas des fonctions polynomiales est une conséquence directe du théorème de d'Alembert-Gauss.
• Le petit théorème se déduit immédiatement du grand, car toute fonction entière est soit polynôme soit elle possède une singularité essentielle à l'infini.
• Le grand théorème de Picard généralise le théorème de Weierstrass-Casorati.

• Une récente conjecture de B. Elsner[2] est liée au grand théorème de Picard : soient ${\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}}$ des ouverts connexes qui ont pour réunion le disque unité épointé ${\displaystyle D\setminus \{0\}}$. Sur chaque ouvert ${\displaystyle U_{j}}$, soit ${\displaystyle f_{j}}$ une fonction holomorphe injective telle que ${\displaystyle \mathrm {d} f_{j}=\mathrm {d} f_{k}}$ sur toutes les intersections ${\displaystyle U_{j}\cap U_{k}}$. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur le disque ${\displaystyle D}$. (Si le résidu est nul, la conjecture découle du grand théorème de Picard.)

Théorème de Landau, généralisant le « petit » théorème de Picard