Théorème de Weierstrass-Casorati

On dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en ${\displaystyle a}$ lorsque le développement en série de Laurent admet une infinité de termes de la forme ${\displaystyle a_{-n}/(s-a)^{n}}$. Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point ${\displaystyle a}$ est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de ${\displaystyle 1/(s-a)}$ (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement : il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Ainsi pour tout ${\displaystyle k}$ inclus dans ${\displaystyle ]0,r[}$ et pour tout ${\displaystyle c}$ appartenant à ℂ, il existe une suite ${\displaystyle (z_{j})}$ de ${\displaystyle D(a,k)\setminus \{a\}}$ telle que ${\displaystyle f(z_{j})}$ tend vers ${\displaystyle c}$.

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de ℂ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

Tracé du module de la fonction ${\displaystyle z\mapsto \exp \left(z^{-2}\right)}$. La fonction possède une singularité essentielle en ${\displaystyle 0}$. On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0

• La fonction ${\displaystyle g:z\mapsto 1/z}$ définie sur ℂ* possède une singularité qui n'est pas essentielle en ${\displaystyle 0}$ (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que ${\displaystyle \left|g(z)\right|\to \infty }$ quand ${\displaystyle z\to 0}$ et la fonction ${\displaystyle g}$ ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
• La fonction définie pour tout ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ par :${\displaystyle f(z)=\exp \left({\frac {1}{z^{2}}}\right)=1+{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{2z^{4}}}+{\frac {1}{6z^{6}}}+{\frac {1}{24z^{8}}}+...}$possède une singularité essentielle en ${\displaystyle 0}$.
  En posant ${\displaystyle z=x+iy}$ on a ${\displaystyle \left|f(z)\right|=\exp \left({\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)}$ les courbes de niveaux de ${\displaystyle \left|f(z)\right|}$ vérifient donc des équations du type ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=c\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ où ${\displaystyle c}$ est une constante, les courbes de niveaux de ${\displaystyle \left|f(z)\right|}$ sont donc des lemniscates de Bernoulli.

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permettent de montrer que les seuls automorphismes biholomorphes de ℂ sont des applications ${\displaystyle f}$ du type ${\displaystyle f(z)=az+b}$ avec ${\displaystyle a\neq 0}$.