Théorème de Landau

En 1904, Edmund Landau[1] a démontré une généralisation du « petit » théorème de Picard en analyse complexe, qu'il a énoncée ainsi en français[2] :

« Théorème 1. Soit une fonction analytique

${\displaystyle G(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{m}x^{m}+\ldots ,}$

régulière en x = 0, pour laquelle

${\displaystyle a_{1}\not =0.}$

Il existe un cercle

${\displaystyle |x|<R=R(a_{0},a_{1}),}$

dont le rayon dépend seulement de a₀ et a₁ (et non des autres coefficients a₂, a₃, … , a_m, … ), à l'intérieur duquel la fonction G(x) possède un point singulier ou prend au moins une fois l'une des valeurs 0 et 1. »

Plusieurs mathématiciens ont immédiatement apporté des contributions précisant ce théorème, parmi lesquels Friedrich Schottky, Adolf Hurwitz, et Constantin Caratheodory. Dans un mémoire publié en 1906[3], Landau a exposé les contributions de chacun d'entre eux. Il a remarqué alors que d'un résultat de Schottky (Théorème 14 du mémoire) on peut déduire la propriété qui suit (Théorème 15).

Théorème 2. Si

${\displaystyle G(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{m}x^{m}+\ldots ,}$

est régulière pour |x| < r, différente de 0 et de 1, et si M(θr) désigne le maximum de |G(x)| pour |x| < θr, où θ est une constante fixée non négative et inférieure à 1, alors

${\displaystyle M(\theta r)\leq \Omega (a_{0},\theta ),}$

où Ω(a₀) est une constante ne dépendant que de a₀ et θ.

Avec les mêmes hypothèses il suit (mais ce fait n'est pas relevé alors par Landau).

Théorème 3. Le coefficient a₁ est borné par une quantité ne dépendant que du coefficient a₀.

D'autres mathématiciens ont par la suite donné des estimations explicites pour les Théorèmes 2 et 3, parmi lesquels Alexander Ostrowski, Albert Pfluger, Lars Valerian Ahlfors, Raphael Robinson, Walter Hayman, et James A. Jenkins. La façon dont ce dernier[4] présente les résultats de Landau et de Schottky semble expliquer pourquoi, dans la littérature moderne, on attribue, assez curieusement, le Théorème 2 à Schottky et le Théorème 3 à Landau. Les travaux mentionnés ont en particulier révélé que, sous les mêmes hypothèses que dans les Théorèmes 2 et 3, on a une estimation du type

${\displaystyle |a_{1}|\leq 2|a_{0}|(|\log |a_{0}||+A),}$

et l'estimation précise de la constante A a rapidement été associée au nom de Landau dans la littérature. Ce problème a été entièrement résolu en 1979 par Wan Tzei Lai[5], qui a montré que la constante A optimale est

${\displaystyle A=\Gamma (1/4)^{4}/(4\pi ^{2})=4{,}37\dots ,}$

l'égalité dans la relation précédente étant possible lorsque a₀ = –1.

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