Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

F est un espace vectoriel, donc convexe, et complet par hypothèse. On peut donc appliquer le théorème de projection sur un convexe complet dans un préhilbert : pour tout vecteur x de H, il existe un vecteur p(x)=u de F vérifiant :

${\displaystyle \forall y\in F\quad \langle x-u\,,\,y-u\rangle \;\leq \;0,}$

Il s'agit ici d'un produit scalaire 〈 , 〉 R-bilinéaire à valeurs réelles : lorsque H est un préhilbertien complexe, muni d'un produit scalaire hermitien 〈 , 〉_C, on se ramène au cas réel en posant 〈 , 〉 = Re(〈 , 〉_C).

Posons v = x – u : il reste à prouver que v est orthogonal à F. Or par définition de u, on a :

${\displaystyle \forall z\in F,\quad \langle v\,,\,z\rangle \;\leq \;0,}$

et aussi (en remplaçant z par –z) :

${\displaystyle \forall z\in F,\quad \langle v\,,\,z\rangle \;\geq \;0,}$

si bien que

${\displaystyle \forall z\in F,\quad \langle v\,,\,z\rangle \;=\;0,}$

ce qui termine la preuve.

F est un espace de Hilbert, donc possède une base hilbertienne (e_i). L'inégalité de Bessel permet de définir l'élément suivant de F :

${\displaystyle p(x)=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}}$ et prouve au passage que x – p(x) est orthogonal à F, ce qui conclut.